ECO2021 课堂笔记：第 5 章　通货膨胀与价格水平（Inflation and the Price Level）

对应材料：Chapter 5 主课件（更新版 47 页）+ 手写讲义《Notes on Growth Rates》+ 手写讲义《Ch5-Practice Question Notes》（Instructor: Jieshuang He） 本讲的主线是一条：价格水平无法直接观察，只能用"指数"去构造；而一旦把一堆价格压缩成一个数字，就必然引入偏差——理解这些偏差，才谈得上理解通货膨胀真正的代价。 全篇的组织顺序是：先解决"怎么量"（二～四节）→ 再解决"量的换算"（五节）→ 然后辨析"量的是不是一回事"（六～七节）→ 接着讲"量错了会怎样"（八～九节）→ 最后用一条数学工具把前面所有"减法"一次证完（十节）→ 速查表与诚实备注（十一～十二节）。 第 10 节来自一份标注"Not required for HW/exam"的手写补充材料，属于理解性内容：它不增加新知识点，但把第 5、6、9 节里反复使用的三个近似式统一证明掉了。

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〇、本讲的路线图（先看这一节，再往下读）

本讲篇幅较长，先给一张骨架，方便定位：

节	主题	核心问题	关键结论
一	问题的提出	为什么要调整美元金额	纸币时代价格持续上升，跨期比较必须做通胀调整
二	价格指数	怎么把一堆价格压成一个数	指数是比率，基年为 1；通胀是指数的增长率
三	CPI 的构造	CPI 具体怎么算	固定篮子 + 基年，五步法；住房占权重 45%
四	用 CPI 算通胀	通胀率怎么算	是相对变化率，同样绝对增量对应的通胀率递减
五	名义 vs 实际	怎么把名义量换成实际量	除以价格指数（平减）；指数化是反向操作
六	通胀 vs 相对价格	这两个概念有何不同	油价涨 8% 在通胀 10% 时意味着相对变便宜
七	CPI 的偏差	这个指数错在哪	替代/质量/新产品三偏差方向一致：系统性高估
八	通胀的成本	为什么通胀有害	价格信号被噪声污染 + 财富再分配 + 税收扭曲
九	名义 vs 实际利率	借贷的真实回报怎么算	$r \approx i - \pi$；费雪效应是长期趋势
十	增长率的工具	前面那些"减法"凭什么成立	$g(x/y) = \frac{g(x)-g(y)}{1+g(y)} \approx g(x)-g(y)$
十一	速查表与易错点	考前速览	11 个坑
十二	诚实备注	材料来源与勘误	更新版删了哪页、我改了什么

如果只有十分钟：读第五节（平减要除以）、第六节（通胀≠相对价格）、第七节（三个偏差）、第九节（费雪效应），再看第十一节的速查表。

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一、这一讲要解决什么问题

前三讲我们一直在处理"量"的问题：一个经济生产了多少东西（GDP）、这些东西花在了哪里（支出法）、又变成了谁的收入（收入法）。但所有这些度量都有一个前提——用的是同一把尺子。一旦跨年份比较，这把尺子本身会变形：今年的 $100 和十年前的 $100 能买到的东西完全不一样。

价格为什么会变？课件给了一个非常干净的历史对照。在使用金属货币（metallic money，黄金白银）的时代，价格有时暴涨、有时暴跌——因为贵金属的供给本身会剧烈波动（发现新矿、美洲白银流入、战争掠夺）。而自从进入法定货币（fiat money，不兑现纸币）时代之后，价格总体上持续上升。这是一个非常重要的经验规律：纸币的供给没有物理约束，长期来看倾向于多印，于是普遍性、持续性的价格上涨成为常态。

于是经济学家需要一套办法，把美元金额调整（adjust）成可比的量，剔除价格变动的干扰。这就是本讲的全部技术内容：先构造一个叫价格指数的东西（CPI），再用它做各种"去通胀"的换算（deflating、indexing），最后讨论这个指数本身错在哪里，以及通货膨胀真正的社会成本。

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二、价格指数（Price Index）：把一堆价格压成一个数字

价格指数（price index） 的定义是：某一类给定的产品与服务，在当期的平均价格，相对于同样这组产品与服务在基年的价格。

这个定义有两个要点。第一，它比较的不是绝对价格，而是一个比率（ratio），所以它本身没有单位，基年的指数永远是 1（或 100%）。第二，"某一类给定的产品与服务"意味着指数总是对应某个篮子（basket），篮子里装什么、各占多少权重，就定义了这个指数的性格。

通货膨胀（inflation）被定义为价格指数的增长率。请注意这句话的措辞：通货膨胀不是一个价格，也不是一个绝对水平，而是一个变化率。所谓"通胀 3%"，指的是价格指数从 1.00 涨到 1.03。这是整讲最容易搞混的一点——后面第 4 节还会专门辨析"价格水平上涨"和"通货膨胀"的区别。

课件列举了几个常见的价格指数，各自的篮子不同：

消费价格指数（Consumer Price Index, CPI） 度量消费者面临的价格变化，是本讲的主角。

核心通货膨胀（core inflation）是剔除能源与食品之后的 CPI。为什么要剔除？因为能源（油价）和食品（农产品）价格受天气、地缘政治等短期冲击影响极大，波动剧烈且经常反转。把它们摘掉，剩下的部分更能反映需求拉动型的、有持续性的价格压力。所以央行看通胀时常常同时看 CPI 和 core CPI——前者反映老百姓的实际感受，后者反映趋势。

生产者价格指数（Producer Price Index, PPI） 度量中间品（intermediate goods）的价格。它通常领先于 CPI，因为上游涨价要经过一段时间才会传导到消费端。

GDP 平减指数（GDP Deflator） 的定义是

$$\text{GDP Deflator} = \frac{\text{Nominal GDP}}{\text{Real GDP}} \times 100$$

它和 CPI 的关键区别在于篮子的构成方式：CPI 用的是固定的一篮子消费品，而 GDP 平减指数的"篮子"是当年实际生产出来的全部东西，会随着生产结构自动变化。同样，GDP 平减指数也覆盖投资品和政府购买，CPI 只覆盖消费。这两个指数的数值经常不一样，原因就在这里。

此外还有进出口价格指数（import / export price index），用于跟踪跨境贸易品的价格。

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三、CPI：度量"生活成本"

3.1 CPI 在测什么

课件给 CPI 的定义是：它对某一特定时期的生活成本（cost of living）的度量。具体来说，它度量的是

一个标准篮子（fixed basket）的产品与服务，在给定年份的成本，相对于同一个篮子在基年的成本。

这个定义里藏着一个关键假设：篮子固定不变。这个假设的初衷是好的——我们希望比较的是"同样的东西现在贵了多少"，所以应该把东西本身固定住。但正是这个假设，成了后面所有偏差的根源（第 7 节专门讲）。

3.2 构造 CPI 的五个步骤

第一步：固定篮子（Fix the basket）。 政府统计部门（中国的国家统计局，或美国的劳工统计局 Bureau of Labor Statistics, BLS）通过调查消费者来确定典型消费者的"购物篮"里有什么。这一步决定了权重——如果住房占 45%，那么房价/租金的变化就会主导 CPI。

这一步在英文里叫 "fix the basket"，注意 fix 这里是"固定下来"的意思，不是"修理"。篮子的固定是按基年的消费结构定的，之后即使人们的消费习惯变了，权重也不会自动跟着变（只会定期重新加权，见下）。

第二步：找出价格（Find the prices）。 收集篮子里所有商品的价格数据。这是整个工作中最繁重的部分——BLS 会派人实地采价，覆盖几万个商品种类和大量零售网点。

第三步：计算篮子的成本（Compute the basket's cost）。 用采到的价格乘以篮子里的数量，得到当期篮子的总成本。

第四步：选基年并计算指数（Choose a base year and compute the index）。 任何一年的 CPI 等于

$$\text{CPI} = \frac{\text{cost of basket in current year}}{\text{cost of basket in base year}} \times 100\%$$

注意这里分成两行写的是分数，即"当年篮子成本"除以"基年篮子成本"，不是减法。基年的 CPI 永远等于 1（或 100%）。

第五步：计算通货膨胀率（Compute the inflation rate）。 通胀率是 CPI 相对于上一期的百分比变化：

$$\text{inflation rate} = \frac{\text{CPI this year} - \text{CPI last year}}{\text{CPI last year}} \times 100\%$$

这个式子的分子是"今年比去年多花了多少"，除以分母"去年的水平"，就得到相对变化率。之所以除以去年的 CPI 而不是今年的，是因为变化的基准是起点而非终点——这是所有增长率计算的通则。

一个容易忽略的细节：课件在第 11 页写道"基年会被定期更换（Base year changes periodically）"。这不是随便一句话。因为固定篮子（第一步）和基年（第四步）是绑在一起的，一旦消费结构发生长期变化（比如手机在 1990 年的篮子里根本不存在），就必须重新调整。美国 BLS 大约每两年做一次重新加权（reweighting），课件第 8 页的饼图来源说明就写着"The most recent annual reweighting was in December 2023"。

3.3 完整算例：租金、汉堡与电影票

课件给了一个 2010 年为基年的例子。一个学生的月度支出构成如下：

项目	2010 年价格	2010 年支出	2015 年价格	2015 年支出
两居室租金（Rent）	$500	$500	$630	$630
汉堡（60 个）	$2.00	$120	$2.50	$150
电影票（10 张）	$6.00	$60	$7.00	$70
月度总支出		$680		$850

注意 2015 年的支出不是重新按 2015 年的消费量算的，而是仍然按 2010 年的数量（60 个汉堡、10 张电影票、一套两居室）乘以 2015 年的价格。这就是"固定篮子"的操作性含义。

于是

$$\text{CPI}_{2015} = \frac{850}{680} \approx 1.25$$

解读：2015 年的生活成本比 2010 年高 25%。因为基年（2010）的 CPI 恒等于 1，所以 CPI 在 2015 年的数值 1.25 本身就是"相对于基年的倍数"，减去 1 得到百分比变化。

课件还顺带提了一句：BEA（美国经济分析局）在公布时把 CPI 表示成百分比，也就是把比率乘 100，于是 1.25 变成 125。1.25 和 125 是同一个东西，只是单位不同。看数据时一定要先确认口径，否则会闹出"CPI 从 1.25 涨到 1.32，怎么才涨 0.07？"这种低级混乱（正确读法是涨了 5.6%）。

3.4 篮子里装了什么：美国 2023 年 12 月的权重

课件用一张饼图给出了美国 2023 年 12 月的 CPI 构成（来源：BLS，官方权重保留三位小数）：

分项	权重
住房（Housing）	45.065%
交通（Transportation）	15.898%
食品与饮料（Food & Beverages）	14.409%
医疗（Medical Care）	8.004%
教育（Education）与通信（Communication）	5.906%
娱乐（Recreation）	5.307%
其他商品与服务（Other Goods & Services）	2.899%
服装（Apparel）	2.512%

住房接近一半，这个事实决定了 CPI 的性格：CPI 在很大程度上就是一个"住房指数"。这也是为什么房价/租金数据滞后时，CPI 会失真——住房项的测量方式（BLS 用"业主等价租金"owner's equivalent rent 而非房价本身）一直是争议焦点。

课件第 9 页还给了八个分项加大学学费自 2000 年以来的累计变化（截至 2024 年 7 月）：

分项	2000–2024 累计涨幅
大学学费与杂费（College Tuition & Fees）	约 185%
医疗（Medical Care）	约 120%
其他商品与服务	约 110%
住房	约 105%
食品与饮料	约 100%
教育（不含学费）与通信	约 40%
娱乐	约 35%
交通	约 65%（波动极大，2021–2022 曾冲高后回落）
服装（Apparel）	约 0%（几乎完全没涨，2020 年后甚至为负）

（表中数值为从图上读取的近似值，不是 BLS 原始公布的精确数字。）

这张图是理解"平均"这个词有多危险的最好材料。"自 2000 年以来 CPI 累计上涨约 90%"是一个真实但极具误导性的陈述：对于一个有学龄子女、常年看病的家庭，他们的"个人 CPI"远远高于 90%；对于一个主要开销是衣服和娱乐的年轻人，他们的"个人 CPI"低于 90%。电视、玩具、服装这类可贸易的制成品价格几乎不涨（因为全球化 + 技术进步），而服务类（医疗、教育、住房）大涨（因为服务业难以自动化，工资上涨直接转变价格）。通胀不是一个均匀的洪水，而是一组涨速差异极大的细流。第 6 节讲"相对价格"时会回到这个洞察。

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四、用 CPI 计算通胀率，以及"通胀"与"通缩"

4.1 现代数据

课件给了两组数据。第一组是 2009–2013 年的 CPI（基年不明，数值在 2 左右，是典型的"以 1982–84 年为基年"的美国口径）：

年份	CPI	通胀率
2009	2.15	—
2010	2.18	1.4%
2011	2.25	3.2%
2012	2.30	2.2%
2013	2.33	1.3%

以 2010 年为例，课件给出计算：

$$\frac{2.18 - 2.15}{2.15} = 0.0139 = 1.4\%$$

（这里要留意：2.18 − 2.15 = 0.03，0.03 / 2.15 = 0.01395…，四舍五入到 1.4%。）

验算 2011 年：$(2.25 - 2.18)/2.18 = 0.0321 = 3.2\%$ ✓；2012 年：$(2.30 - 2.25)/2.25 = 0.0222 = 2.2\%$ ✓；2013 年：$(2.33 - 2.30)/2.30 = 0.0130 = 1.3\%$ ✓。课件数据自洽。

4.2 大萧条（The Great Depression）

第二组数据是 1929–1933 年的美国 CPI：

年份	CPI	通胀率
1929	0.171	—
1930	0.167	−2.3%
1931	0.152	−9.0%
1932	0.137	−9.9%
1933	0.130	−5.1%

大萧条是产出与价格同时下跌的时期。当通胀率为负时，就出现了通缩（deflation）。

通缩为什么可怕？ 课件这里没有展开，但这是理解后面内容的关键，值得补一句直觉。通缩意味着持有现金的购买力在自动上升，于是理性的做法是推迟消费和投资（"明年买更便宜"），而推迟消费又进一步压低需求、压低价格，形成自我强化的螺旋。同时，通缩会加重债务的实际负担——借了 $100，钱更值钱了，还债要用"更贵的钱"。这解释了为什么现代央行宁可容忍 2% 的通胀，也绝不愿意见到通缩。课件第 46 页引用的 2023 年 8 月《经济学人》文章标题就是 "Deflation and default haunt China's economy"（通缩与违约困扰中国经济），正是这个担忧的当代案例。

4.3 全球视角

课件第 13 页给出 1960–2025 年多国 CPI 走势（以 2010 年为 100 的标准化指数）：

国家	1960 年指数	2025 年指数	65 年累计倍数
俄罗斯	~13	~283	~22 倍
印度	~4	~232	~58 倍
墨西哥	~8	~190	~24 倍
印度尼西亚	~4	~175	~44 倍
美国	~13	~140	~11 倍
中国	~10	~135	~14 倍
日本	~17	~117	~7 倍

（数值为从图上读取的近似值；各国起点不同是因为该图以 2010 年为共同基准 100，回溯换算导致的。）

这张图有三个值得记住的细节。

第一，日本是最低的那条线。 日本自 1990 年代泡沫破裂后陷入长期低通胀甚至通缩，至今仍是宏观经济学最著名的"谜题"之一。中国 1990 年代中期有一小段指数下行（图中中国线在 1995 前后有轻微回落），对应的是那一轮高通胀的治理与亚洲金融危机。

第二，印度斜率最陡，起点也最低。 印度 1960 年指数约 4，意味着该国（按这个基准换算）1950–60 年代的价格水平极低，此后经历了数十年的较高通胀。

第三，1980 年前后所有国家都有一段陡坡。 这对应第二次石油危机与全球性大通胀，是理解"通胀可以被打下去但代价很大"的历史教材（美国经历过 1980–82 的沃尔克紧缩，失业率一度超过 10%）。

课件第 15 页进一步给出 1960–2025 年按地区分组的通胀率走势：1970 年代和 1990 年代初期是两个高通胀高峰（前者是全球石油冲击，后者是转型经济体与拉美的恶性通胀），2000 年后全球通胀普遍回落到 5% 以下，2021–2022 年又出现一波全球性反弹（疫情后的供应链与需求错配、能源价格）。撒哈拉以南非洲（Sub-Saharan Africa）几乎全程是通胀最高的地区线。

4.4 一道概念题

课件第 16 页的题：如果价格水平连续三年从 1.00 涨到 1.20 再到 1.40，这三年的年度通胀率会……

A) 上升　B) 保持不变　C) 下降　D) 等于 20%

答案是 C（下降）。 很多人会错选 B 或 D，因为看到 1.00→1.20 和 1.20→1.40 的绝对增量都是 0.20，就以为"每 0.2 的涨幅"意味着通胀率不变。但通胀率是相对变化：

$$\frac{1.20 - 1.00}{1.00} = 20\%, \qquad \frac{1.40 - 1.20}{1.20} = 16.7\%$$

分母在变大，同样的绝对增量对应的相对变化就变小。这道题考的就是"通胀率是增长率而非差值"这个定义，是整讲最基础的陷阱之一。

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五、名义值、实际值与"平减"（Deflating）

5.1 两个定义

名义值（nominal value）以当期美元来度量——就是账面上那个数字，比如今年的工资条写着 $44,000。

实际值（real value）以实物量来度量——可以买到的产品与服务的数量。实际值才是关乎生活的量，因为人的满足来自"能买到什么"，而不是"钞票面额是多少"。

课件给的操作规则是：要跨时间比较，就必须用实际量；把一个名义量转换成实际量的过程叫平减（deflating），也就是做通胀调整（inflation-adjusted）。

$$\text{real quantity} = \frac{\text{nominal quantity}}{\text{price index}}$$

为什么是除以指数，而不是减掉通胀率？ 因为通胀是乘法性的。价格上涨 25% 意味着同一笔钱能买的东西变成原来的 $1/1.25 = 80\%$。用减法（减 25%）会算成 75%，这是错的。这个"除法而非减法"的直觉，是整节最容易出错的地方。

5.2 算例一：哪一年能买得更多

一个家庭在 2010 年有 $40,000 收入，在 2015 年有 $44,000 收入，哪一年能买更多东西？（2010 为基年，CPI 分别为 1.00 和 1.25）

年份	名义收入	CPI	实际收入
2010	$40,000	1.00	$40,000 / 1.00 = $40,000
2015	$44,000	1.25	$44,000 / 1.25 = $35,200

名义收入涨了 10%（$40,000 → $44,000），但实际收入降了 12%（$40,000 → $35,200）。2010 年的购买力更强。

这个例子值得咀嚼：如果只看工资条，2010 到 2015 年"加薪了 10%"，员工应该高兴；但实际生活水平明显下降了。这就是为什么讨论工资时必须用实际工资——几乎每一项关于"工资增长"的新闻，如果不是实际口径，都可以在不撒谎的前提下误导人。

5.3 算例二：阿凡达与泰坦尼克——电影史的真实票房

课件第 19 页提出了一个经典问题：《阿凡达》（Avatar, 2009）超越《泰坦尼克号》（Titanic, 1997）成为史上最高票房，但这个比较有意义吗？

电影	年份	名义票房	CPI	实际票房
Avatar	2009	$2,923,710,708	2.15	$1,359,865,446
Titanic	1997	$2,264,812,968	1.61	$1,406,716,129

（课件假设每部影片的全部票房都在上映当年取得，以简化计算。）

按名义美元，《阿凡达》领先约 29%；但按实际购买力，《泰坦尼克号》反而领先约 3.4%。

这里有一个统计上的微妙之处要说明。电影票的实际销量（观影人次）其实比实际票房更适合这个比较，因为票价的变化和 CPI 的变化不是同步的——电影院线经历过技术升级（IMAX、3D、杜比），票价涨幅长期高于整体 CPI。课件把它明确列为一道思考题（"Dollar value of tickets or the number of tickets sold?"），意思就是：这两个口径给出不同答案，而正确的问题是"用哪个口径才对"。票房收入口径混杂了票价和人次两个因素，只有它乘以（除以）票价指数才能还原人次；而用 CPI 去平减票房，等于假设电影票和整体篮子同比例涨价，这个假设是不成立的。此外还有国际票房汇率、重映（re-release）等干扰。

顺带看课件第 3 页的当代数据（截至 2026 年 9 月 11 日）：排名第一的仍是《阿凡达》（$2,923,710,708），第 2 是《复仇者联盟 4：终局之战》（$2,799,439,100），第 3 是《蜘蛛侠：崭新的一天》（2026，$2,413,442,530），第 5 名《哪吒之魔童闹海 / Ne Zha 2》（2025，$2,270,700,370）尤为醒目——它的国内票房占比只有 1%，海外（Foreign）占比 99%，是这份榜单里唯一一部"几乎全靠本土市场"的全球前十影片。这份榜单还有一个隐含的教学点：它一直用名义美元排序，于是新片系统性地占便宜，而真正的人次冠军（普遍认为是《乱世佳人》或《泰坦尼克号》级别）永远不会出现在榜上。

5.4 算例三：美国生产工人的实际工资

课件第 20 页用真实的美国数据演示了同样的事情（CPI 以 1983 年为基年）：

年份	平均名义工资	CPI	实际平均工资
1970	$3.40	0.39	$8.72
2013	$20.14	2.29	$8.79

名义工资涨到将近 6 倍（$3.40 → $20.14），但实际工资几乎没动（$8.72 → $8.79，仅 +0.8%）。四十多年的名义工资增长，几乎全部被通胀吃掉。

课件第 21 页的 FRED 图进一步佐证了这一点，而且强烈推荐记住这张图：它同时画出名义周薪中位数（红线）与实际周薪中位数（蓝线，1982–84 年不变价）。红线从 1979 年的不到 $250 一路升到 2025 年的近 $1,200；蓝线则在同一个横轴上近乎水平地贴着 $300–$380 上下波动，四十年间几乎没有趋势性上升。

这就是宏观经济学中所谓"工资停滞（wage stagnation）"现象最直接的呈现。需要诚实说明的是，这条蓝线之所以近乎水平，部分也受统计口径影响：它只覆盖工薪阶层（wage and salary workers）的"通常周薪中位数"，不含雇主缴纳的医疗保险等福利（过去几十年福利占报酬的比例显著上升），也不反映"家庭"层面的变化（女性劳动参与率上升使家庭收入增幅远高于个人工资）。所以"实际工资停滞"这个结论本身是有争议的：个人实际工资停滞是真的，但家庭实际收入和生活水平大幅提升也是真的。这是第 6 节（相对价格）与第 8.1 节（价格作为信息的噪声）在统计层面上的一个延伸——"平均"这个动作本身会抹平结构差异，而结构差异往往才是有信息量的那部分。

5.5 指数化（Indexing）

既然通胀会侵蚀名义量，最直接的对策就是自动补偿。指数化（indexing）就是每一期按某个指定价格指数的涨幅，等比例地提高一个名义量。它的目的是防止名义量的购买力被通胀侵蚀。

课件给的政策例子是美国的**社会保障（Social Security）给付：如果某年价格上涨 3%，社保领取者自动多拿 3%，不需要国会每年重新立法。指数化有时候也被写进劳动合同（labor contracts）**里。

课件第 23 页（"Adjusting for Inflation"）给了一个指数化的劳动合同（indexed labor contract） 算例：

• 第一年工资是每小时 $12
• 雇主保证实际工资在接下来两年每年上涨 2%
• 相关价格指数：第一年 1.00，第二年 1.05，第三年 1.10

关键关系式是 名义工资 = 实际工资 × 价格指数（即第 5.1 节平减公式的变形）。

年份	实际工资	价格指数	名义工资
1	$12.00	1.00	$12.00
2	$12.24	1.05	$12.85
3	$12.48	1.10	$13.73

逐行验算：

实际工资按 2% 复合增长：$12.00 \times 1.02 = 12.24$；$12.24 \times 1.02 = 12.4848 \approx 12.48$ ✓

名义工资：$12.24 \times 1.05 = 12.852 \approx 12.85$ ✓；$12.48 \times 1.10 = 13.728 \approx 13.73$ ✓

这个例子的教学价值在于它把两条线分开了。 三年间名义工资涨了 14.4%（$12.00 → $13.73），听起来不错；但把它拆开看：实际购买力只提升了 4.0%（$12.00 → $12.48，也就是两年各 2% 的复合增长，$1.02^2 = 1.0404$），剩下 10.0% 只是在追通胀（价格指数从 1.00 涨到 1.10）。两者的精确关系是乘法而非加法：

$$1.0404 \times 1.1000 = 1.1444 \quad (\text{即名义 } +14.4\%)$$

把两个增长率直接相加得 $4.0\% + 10.0\% = 14.0\%$，与真实的 14.4% 差 0.4 个百分点——这 0.4 就是两者的交叉项（$0.0404 \times 0.10 = 0.00404$）。为什么会有交叉项，见第 10 节。

如果只看名义工资的涨幅，会严重高估工人的处境。反过来，如果合同没有指数化，第二年工资仍是 $12.00，而价格指数已经是 1.05，实际工资就跌到 $\$12.00 / 1.05 = \$11.43$ —— 一年之内实际购买力缩水约 4.8%。指数化的价值就在于把这 4.8% 的随机损失变成可预期的合同条款。

5.6 为什么 CPI 的准确性如此重要

课件第 24 页把上面这些串成了一个政策问题。CPI 及其他指数会影响政策决策与工资调整，所以它的误差有真实的财政后果：

1996 年的一份报告（即著名的 Boskin Commission）指出，美国 CPI 每年高估通胀 1 到 2 个百分点。后果是双向的：

高估通胀会不必要地增加政府支出。 因为社会福利给付和许多合同都有与 CPI 挂钩的生活费用补贴（cost-of-living-allowance, COLA）。如果 CPI 说通胀 3%，而真实生活成本只涨了 2%，那么每一笔 COLA 调整都多付了 1 个百分点。考虑到社保覆盖上千万人，这个"1 个百分点"是每年数百亿美元的规模。更麻烦的是它会复利累积——每年多付一点，几十年后基数已经永久性偏高。

同时，高估通胀会低估生活水平的提升。 如果 CPI 显示通胀 3% 而实际是 2%，那么"实际收入增长"就被少算了 1 个百分点。

课件最后说，自 1996 年以来 CPI 的计算方法已作修改，以提高其估计通胀的准确性。这是一个很好的例子，说明统计方法本身也是会演进的，而一次方法论修订的财政影响可以持续几十年。

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六、通货膨胀与相对价格：两个完全不同的东西

6.1 三个概念的定义

价格水平（price level） 是某个时点上总体价格水平的度量，由 CPI 这类价格指数来衡量。注意它是一个指数值，不是某个具体商品的价格。

某个商品的相对价格（relative price） 是它的价格与其它产品和服务价格的比较。

通货膨胀 是价格水平的变化率。

这三个概念经常被混为一谈，课件用同一个例子把它们分开：假设汽油价格一次性翻倍。结果是

• 整体价格水平只小幅上升，通胀率也只小幅上升——因为汽油只是上千种商品中的一种，权重大约百分之几，它翻倍对整体篮子的拉动有限；
• 但汽油的相对价格大幅上升——相对于其他所有商品，汽油贵了很多。

所以："所有价格都在涨"和"某样东西变贵了"是完全不同的两件事。 前者是通胀，后者是相对价格变化。通胀是货币现象（钱多了），相对价格变化是市场现象（供需变了）。把它们混起来，是政策讨论中最常见也最危险的错误。

6.2 季节性价格变化：无需通胀也会动的相对价格

课件第 32 页给了一组直观的例子：夏季价格。

更高的： 海滨酒店（Beach hotels）、邮轮（Cruises）、汽油（Gas prices）。 更低的： 新鲜水果蔬菜（Fresh fruit and vegetables）、取暖油（Heating oil）。

注意这个分类本身很说明问题：夏季汽油涨、取暖油跌，两者都是"能源"，但方向相反。这正是"相对价格"的定义——它们在整体价格水平几乎不变的情况下，彼此之间发生了重新排列。如果只盯住"通胀"，你完全看不出这些故事。

6.3 一个完整算例：油价上涨 8% 到底意味着什么

课件第 33 页的表格非常精炼，值得逐格算一遍：

年份	CPI	通胀率	油价变化率	石油相对价格变化率
2013	1.20	—	—	—
2014	1.32	10%	8%	−2%
2015	1.40	6%	8%	2%

验证通胀率：$(1.32-1.20)/1.20 = 10\%$ ✓；$(1.40-1.32)/1.32 = 6.06\% \approx 6\%$ ✓

相对价格变化的计算方式是"油价涨幅减去通胀率"（课件用的是这个近似算法，在数值较小时足够精确；它的精确形式与证明见第 10 节）：

• 2014 年：$8\% - 10\% = -2\%$。油价涨了，但涨得比整体物价慢，所以石油的相对价格实际下降了 2%。这是反直觉的：新闻会报道"油价上涨 8%"，但真实的信息是石油变便宜了。
• 2015 年：$8\% - 6\% = 2\%$。油价涨幅超过整体通胀，相对价格上升 2%。

这两个格子是整讲最精妙的地方。 同样是"油价上涨 8%"，一年里它意味着石油相对变便宜，另一年里意味着相对变贵——差异完全来自同期通胀率的不同（10% vs 6%）。如果只看名义油价变化，你永远得不出正确的判断。这就是"通胀是噪声"这句话的具体含义。

用精确公式核一下这两个格子。 所谓"相对价格"其实是"石油价格 ÷ CPI"这个比率的增长率，而比率的增长率有一条精确公式 $\frac{g(x)-g(y)}{1+g(y)}$（第 10 节有完整证明）：

$$\text{2014}: \quad \frac{0.08-0.10}{1+0.10} = -1.82\%, \qquad \text{2015}: \quad \frac{0.08-0.06}{1+0.06} = 1.89\%$$

所以课件写的 $-2\%$ 和 $2\%$ 分别是精确值 $-1.82\%$ 与 $1.89\%$ 的四舍五入。 方向完全一致，误差不到 0.2 个百分点——这就是课件可以用那个粗糙减法而不出问题的原因。但它有个前提：分母上的通胀率（这里是 6% 与 10%）足够小。如果通胀是 300%，这个减法就会错得很离谱（第 10.6 节有一个真实数据的反例，误差达 4.3 个百分点）。

6.4 政府应不应该管理相对价格

课件给了一个明确的立场：政府很少试图去管理相对价格（Government rarely attempts to manage relative prices），因为这会扭曲该行业的供给与需求（distort supply and demand）。

道理很直接：相对价格是市场传递稀缺性信息的机制。如果政府把某项价格按住不让它涨（比如租金管制、能源补贴），那么这个信号就被抹掉了——生产者得不到"应该多生产"的激励，消费者得不到"应该少消费"的激励，结果通常是短缺（排队、配给、黑市）。这也呼应了第 8 节下面要讲的"价格是信息载体"。

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七、CPI 的四个偏差（Biases）

这是本讲技术含量最高的一节。CPI 用固定篮子（fixed basket），这带来了四个系统性的向上偏差。

7.1 替代偏差（Substitution Bias）

问题的根源：CPI 用的是固定篮子，但当某个商品涨价时，消费者会少买它、转而购买替代品（substitute）。固定篮子假设消费者"傻傻地继续买同样的东西"，于是高估了生活成本上升的幅度。

课件用咖啡与茶（coffee and tea）的例子把它算清楚了。假设消费者对咖啡和茶的偏好完全相同。

基年（2010）的购物篮：

商品	2010 年价格	2010 年数量	2010 年支出
咖啡（Coffee）	$1.00	50 杯	$50.00
茶（Tea）	$1.00	50 杯	$50.00
司康饼（Scones）	$1.00	100 个	$100.00
总计			$200.00

2015 年，咖啡和司康饼都涨价了。如果坚持买完全相同的篮子：

商品	2015 年价格	数量	2015 年支出
咖啡	$2.00	50 杯	$100.00
茶	$1.00	50 杯	$50.00
司康饼	$1.50	100 个	$150.00
总计			$300.00

$$\text{CPI} = \frac{300}{200} = 1.50$$

（课件原文在这页写成了"compared to $200 in 2005"，而基年标的是 2010。这是课件的一处笔误，参见文末诚实备注。）

但实际上，消费者会把咖啡换成茶：

商品	2015 年价格	数量	2015 年支出
咖啡	$2.00	0 杯	$0.00
茶	$1.00	100 杯	$100.00
司康饼	$1.50	100 个	$150.00
总计			$250.00

$$\text{True CPI} = \frac{250}{200} = 1.25$$

CPI 估计的 1.50 比消费者真实体验的 1.25 高出 20%（$1.50 / 1.25 = 1.20$）。这 20% 完全是替代行为造成的，所以叫替代偏差。

这个例子的深层含义。 消费者把咖啡全换成茶，同时保持了 100 杯的总消费量和司康饼的消费，说明消费者并没有觉得自己变差——他仍然喝到 100 杯热饮。用经济学术语说，替代行为让消费者维持在同一条无差异曲线上（same indifference curve）。但固定篮子 CPI 却宣称他的生活成本涨了 50%。固定篮子衡量的不是"维持相同生活水平的成本"，而是"维持相同购物车内容的成本"，这两者是不同的。 这就是"生活成本"这个概念本身难以精确定义的根本原因。

易错点提示：课件第 27 页表格里的 "Coffee (00 cups)" 是个排版小瑕疵，意思就是 0 杯。如果你在别处看到"00 cups"不要以为是"100 杯"——因为这一行的支出恰好是 $0.00，与 0 杯一致。

7.2 质量偏差（Quality Bias）

CPI 度量价格变化，但不度量质量变化。 课件的例子：一台内存多 20% 的电脑，价格也高了 20%。如果统计上不做调整，这台电脑对 CPI 的贡献会是正的 20%。

但问题是：这已经不是十年前那台电脑了。多出来的内存是实实在在的价值提升，消费者得到的更多。正确的处理应该是按质量调整价格（quality adjustment）——把这 20% 的涨价中属于质量提升的部分扣掉，得出"同质量价格"其实没变。

为什么这件事极其困难？ 课件给了两个理由：商品数量庞大（几十万种商品），以及差异本身是主观的。举几个具体例子说明难度：同一款笔记本，重量轻了 200 克、屏幕换成了更省电的面板、电池寿命长了 2 小时——这算涨价 5% 还是降价？不同的人会有不同答案。手机摄像头从 1200 万像素升到 4800 万，对专业摄影师是巨大提升，对只用来扫二维码的人近乎无用。

这个偏差在电子、通信、医药领域最严重（技术迭代快），在理发、房租领域几乎不存在（服务本身变化小）。所以严格来说，CPI 对不同分项的偏差大小是不一样的。学术研究（如美国的 Boskin Commission、美联储的 hedonic 调整研究）普遍认为质量偏差每年贡献 0.5 到 1 个百分点的高估。

7.3 新产品偏差（New Goods Bias）

课件提出：把新产品纳入 CPI 是困难的，因为没有基年价格。今年新出的商品，在基年根本不存在，怎么算"相对于基年的价格变化"？

但更重要的是一句几乎被忽略的洞察：当新产品出现时，消费者能找到更贴近自己需求的产品。而且——新产品只会降低生活成本（在质量不变的前提下），因为消费者可以选择不买它们。

这句话值得慢慢拆。一个新产品出现（比如网约车、外卖、智能手机、电商），最多只能让消费者的选择集变大。选择集变大不可能让任何人的处境变差（因为他可以像以前一样不买），所以它只会降低或维持"维持某生活水平的最低成本"。但CPI 因为使用固定篮子，完全捕捉不到这个增益——基年的篮子里根本没有智能手机，所以智能手机带来的便利在 CPI 里是零。

课件的结论因此是：因为替代偏差、质量偏差、新产品偏差都指向同一个方向，CPI 会高估生活成本的上升（the CPI overstates any increases in the cost of living）。

7.4 一道综合练习题：鸡肉、火腿与牛排

课件第 30 页给了一道完整的计算题。

基年 2015 年，典型消费者的食品篮：

• 鸡 30 只，每只 $3.00
• 火腿 10 个，每个 $6.00
• 牛排 10 块，每块 $8.00

2016 年，鸡饲料短缺使鸡肉价格涨到每只 $5.00；火腿涨到每个 $7.00；牛排价格不变。

(a) 计算"食品成本指数"（cost-of-eating index）在 2015–2016 年间的变化。

基年篮子成本：

$$\text{鸡}: 30 \times \$3.00 = \$90.00$$

$$\text{火腿}: 10 \times \$6.00 = \$60.00$$

$$\text{牛排}: 10 \times \$8.00 = \$80.00$$

$$\text{基年合计} = \$230.00$$

2016 年同样篮子的成本：

$$\text{鸡}: 30 \times \$5.00 = \$150.00$$

$$\text{火腿}: 10 \times \$7.00 = \$70.00$$

$$\text{牛排}: 10 \times \$8.00 = \$80.00$$

$$\text{2016 年合计} = \$300.00$$

$$\text{指数}_{2016} = \frac{300}{230} \approx 1.3043$$

$$\text{变化率} = \frac{300 - 230}{230} = \frac{70}{230} \approx 30.43\%$$

答案：官方"食品成本指数"上升约 30.4%。

(b) 假设消费者在两只鸡与一个火腿之间完全无差异（completely indifferent）。在这个例子中，官方指数的替代偏差有多大？

"完全无差异"是关键假设——它意味着两只鸡带给消费者的满足，等于一个火腿。消费在基年拥有的"肉食组合"是：鸡 30 只 + 火腿 10 个 + 牛排 10 块。把鸡按 2:1 折算成火腿当量：30 只鸡 = 15 个火腿当量，加上原有 10 个，共 25 个"火腿当量"。

2016 年鸡贵了（$5/只 = $2.50 每火腿当量），火腿相对便宜了（$7/个）。理性的消费者会把鸡换成火腿，直到新的组合仍然提供 25 个火腿当量：

$$\frac{30 - 2x}{2} + (10 + x) = 25$$

这里 $x$ 是新增的火腿个数（每加 1 个火腿，就减掉 2 只鸡）。化简：

$$15 - x + 10 + x = 25 \quad \Rightarrow \quad 25 = 25$$

这个恒等式说明：只要按 2:1 的兑换率调整，任何 $x$ 都维持同样的满足水平——这正是"完全无差异"的含义。所以我们要找的是在维持相同满足水平下成本最低的那个组合。

成本函数（把鸡换成火腿 $x$ 个）：

$$C(x) = (30 - 2x) \times 5 + (10 + x) \times 7 + 10 \times 8 = 150 - 10x + 70 + 7x + 80 = 300 - 3x$$

$C(x)$ 关于 $x$ 单调递减，所以理性消费者会一直换到 $x$ 的最大值，即全部鸡都换成火腿（$x = 15$）：

$$C(15) = 300 - 45 = \$255$$

（等价地：0 只鸡、25 个火腿、10 块牛排 = $0 + 175 + 80 = \$255$。）

$$\text{真实食品成本指数} = \frac{255}{230} \approx 1.1087$$

$$\text{真实变化率} = \frac{255 - 230}{230} \approx 10.87\%$$

替代偏差的大小：

$$\text{官方} - \text{真实} = 30.43\% - 10.87\% = \mathbf{19.57 \text{ 个百分点}}$$

或者看指数的相对高估幅度：

$$\frac{1.3043}{1.1087} \approx 1.1764 \quad\Rightarrow\quad \textbf{官方指数高估了约 17.6\%}$$

与官方解答对账。 讲义另发的《Ch5-Practice Question Notes》手写稿给出了这道题的参考答案，两问都与上面的推导一致：

• (a) $\text{Cost}_{2015} = 30\times\$3 + 10\times\$6 + 10\times\$8 = \$230$；$\text{Cost}_{2016} = 30\times\$5 + 10\times\$7 + 10\times\$8 = \$300$；故 $\text{CEI}_{2016} = \$300/\$230 \approx 1.304$，于是 "Food Inflation"$_{2016} = \dfrac{1.304-1}{1} = 30.4\%$。
• (b) $\text{True Cost}_{2016} = (15+10)\times\$7 + 10\times\$8 = \$255$；故 $\text{True CEI}_{2016} = \$255/\$230 \approx 1.1086$，于是真实食品通胀 $\approx 10.9\%$。

官方解答把"食品成本指数"缩写成 CEI（cost-of-eating index），这是我上面没有使用的记号，做作业时建议沿用。注意 (b) 里那个 $(15+10)$ 正是上文推导的"30 只鸡 = 15 个火腿当量，再加原有 10 个火腿"——官方的做法是把这个 25 个火腿当量的组合整体按 $7 的单价去买，逻辑与我的成本最小化完全等价，答案一字不差。

唯一的小差别在舍入位数：官方写 $1.1086$ 与 $10.9\%$，我写 $1.1087$ 与 $10.87\%$——因为 $\$255/\$230 = 1.108695\ldots$，两者是同一个数。

顺带一句：官方解答没有把 (a) 与 (b) 相减得出偏差的具体幅度。补上这一步是 $30.4\% - 10.9\% = 19.5$ 个百分点（用未舍入的值算是 19.57 个百分点）。做作业时如果题目问"替代偏差有多大"，要记得把这个差额算出来并写单位（百分点），而不是只给两个指数。

这道题值得反复体会的地方在于：官方指数说"食品成本涨了 30%"，而消费者真实感受到的只有 11%。 差额接近 20 个百分点，全部来自一个简单的替代行为。用一个更极端的说法：官方指数在这道题里误差量级和它要测量的量本身同数量级——这就是为什么第 5.6 节里那句"CPI 每年高估 1 到 2 个百分点"会引起那么大的政策争议。

顺带注意这道题的假设与现实的距离。"两只鸡 = 一个火腿"是一个极其粗糙的假设（现实中鸡肉和火腿远非完全替代品），真实的替代弹性需要通过需求系统估计（如 Almost Ideal Demand System）。但正因为假设粗糙，这道题才把"替代偏差"这个机制剥离得如此干净。

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八、通货膨胀的成本（Costs of Inflation）

前面都在讲"怎么量"，现在讲"量出来的这个数意味着什么"。这一节的组织逻辑是：通胀本身不是成本，通胀造成的"信息失真"和"财富再分配"才是成本。

8.1 价格是信息，通胀是噪声

这是整节的核心洞察，值得单独拎出来。价格传递两类信息：

1. 生产的成本（the cost of production）
2. 市场中需求与供给之间的关系

想象一个木材商看到木材价格上涨。他应该增加产量还是减少？如果涨价是因为需求旺盛（家具订单暴增），他应该扩大生产；如果涨价是因为整个经济通胀了（所有东西都在涨，木材只是其中之一），他其实什么都没赚，扩产是浪费。

通胀在信息通路上制造了静电噪声（static / noise）：买者和卖者无法轻易判断——

是这种商品的相对价格在上涨？还是通胀在推高这种商品以及所有其他商品的价格？

区分这两者需要市场参与者去收集信息，而信息是有成本的（at a cost）。所以在通胀环境下，对价格变化的反应是试探性的、迟缓的（tentative and slow）。

这就是通货膨胀最本质的成本：它不改变生产可能性，但它让价格信号变得不可读，从而降低了整个经济的配置效率。这个洞察是后面所有具体成本（菜单成本、皮鞋成本……）的总纲。

8.2 税收扭曲之一：税级攀升（Bracket Creep）

所得税已经被指数化，以避免税级攀升。

税级攀升（bracket creep） 指的是：一个家庭仅仅因为名义收入上升（而实际收入没上升）就被推入更高的税率档（higher tax bracket），从而面临更高的税率。

课件给的算例：2000 年 $50,000 的税率为 25%；CPI 在 2000 年为 1，在 2005 年为 1.25。那么在 2005 年，$62,500 的名义收入仍然按 25% 征税。

$62,500 这个数不是随便来的：$50{,}000 \times 1.25 = 62{,}500$。这就是"实际收入不变"的名义金额。指数化所得税的意思就是：把税率档的边界也按 CPI 调整，使得同样的实际收入对应同样的税率。

如果没有指数化会怎样？ 2005 年一个只涨了工资名义值、实际购买力与 2000 年完全相同的家庭，名义收入 $62,500 会被推入更高档（假设下一档从 $60,000 开始，税率 28%），于是实际税负上升、实际可支配收入下降。他什么都没做错，只是政府和其他所有人一样经历了通胀。这相当于一种无需立法的隐性加税——这正是税级攀升在政治上如此不受欢迎的原因。

8.3 税收扭曲之二：资本折旧扣除（不是所有税都指数化）

课件紧接着指出一个尖锐的对照：然而，并不是所有税收都被指数化了。

资本折旧扣除（capital depreciation allowance） 是一个鼓励购买资本品的制度安排：允许企业把新投资购买价格的一部分作为营业费用（business expense） 逐年扣除。

课件给的例子：一台新机器成本 $1,000，使用寿命 10 年。美国税法允许每年折旧扣除 $100。

问题在于：第一年的 $100，比第十年的 $100 更值钱，因为通胀。

这是一个极其精妙的论证。企业实际的经济成本是"在第 0 年一次性付出 $1,000"。但税法把它分摊成 10 笔 $100。由于通胀，这 10 笔 $100 的实际现值（present value）之和小于 $1,000。也就是说，税法允许扣除的名义总额等于原始成本，但按实际购买力衡量，允许扣除的总额小于真实成本。

后果是企业被过度征税（利润被高估），而且通胀越高，这个缺口越大。所以说：

在高通胀时期，投资于新厂房和设备的激励会下降（the incentive of investment in new plant and equipment decreases）。

这就是通胀扭曲长期资本形成的机制，是一种非常隐蔽但影响深远的成本。它同时也解释了为什么经济学家普遍支持"折旧扣除应随通胀调整"或采用加速折旧——不调整的话，高通胀本身就构成一种反投资的政策。

8.4 税收扭曲之三：利润被高估，真实税负上升

版本提示：这一小节原对应课堂讲义 5-37 页的"木匠例题"。在更新版讲义中该页已被删除（整套课件从 48 页变成 47 页，详见文末诚实备注）。由于它把"通胀高估利润"这条逻辑推到了最干净的形式，而且与上一节"折旧扣除"完全同源，我把它保留为补充例题，并明确标注它已不属于当前讲义范围。

上一节讲的是折旧扣除，这里换一个更直白的场景，把同一个机制推到底——一个木匠用木材做家具：年初买 $160 的木材，年末卖 $200 的家具，赚 $40 利润，按 30% 税率缴 $12 的税。

无通胀情形：

项目	数值
成本（Cost）	$160
销售额（Sales）	$200
利润（Profit）	$40
税额（Tax）	$12
实际税额（Tax, real）	$12

20% 通胀情形：

项目	数值
成本	$160（年初买入，价格未变）
销售额	$240（通胀后提价 20%）
利润	$80
税额（30%）	$24
实际税额	$24 / 1.2 = $20

60% 通胀情形：

项目	数值
成本	$160
销售额	$320（提价 60%）
利润	$160
税额（30%）	$48
实际税额	$48 / 1.6 = $30

逐格分析这组数字。 木匠的真实经济处境完全没有变化：他仍然是年初花 $160 的木材、年末卖出价值 $200（按不变价）的家具、赚 $40 的真实利润。但：

• 无通胀时，他缴 $12 的税，拿走 $40 中的 30%。
• 20% 通胀时，名义利润翻倍到 $80，税务上按 $80 征税得 $24。这 $24 要平减回实际值（除以 1.2）才能和前面的 $12 比较——得到 $20。
• 60% 通胀时，名义利润 $160，税 $48，平减（除以 1.6）得 $30。

真实税负从 $12 涨到 $20 再到 $30，翻了一倍半。 而木匠什么都没变。他面对的不是税率上升，而是税基（利润）的计算被通胀污染了——因为成本按历史价格（$160）入账，而收入按当期价格（$320）入账，两者不在同一个价格水平上，相减得出的"利润"混入了纯粹的物价上涨。

被删除的那一页上有一行文字概括了这一点，值得逐字记住：通胀使利润被高估（Inflation causes profits to be overstated），从而提高了所欠税收的实际价值（increases the real value of taxes owed）。

这个例子和上面折旧扣除的结构相同：都是"成本发生在过去、收入发生在现在"导致的口径不匹配。这类问题统称为资本收益的虚假计价，也是为什么许多国家引入"通胀会计调整"（inflation accounting）或对利息、资本利得做特殊处理。

8.5 皮鞋成本（Shoe Leather Costs）

如果完全没有通胀，现金会保值（cash holds its value over time），人们出于便利仍会留一部分现金在手上——课件的措辞是"为了便利会持有一些现金（Some cash will be held for convenience）"。

但当通胀很高时，现金会随时间贬值。 于是人们会管理自己的现金持有量以限制损失（manage cash balances to limit losses），具体做法是：

• 更频繁、金额更小的取款（more frequent, smaller withdrawals）——这消耗消费者和企业的时间与交通成本，是通胀的一项真实成本；
• 银行处理更多的交易（banks process more transactions），运营成本上升——又一项真实成本。

这些管理现金持有的成本被称为**"皮鞋成本"（"shoe leather" costs）**，得名的原因很形象：跑银行的次数多了，鞋子磨损得更快。

为什么说这是"真实"成本？ 因为它消耗了真实的资源（时间、交通、银行的柜员与系统），而这些东西本来可以拿去生产别的东西。这是通胀造成资源浪费的直接体现。在最极端的情形（恶性通胀，见 8.8）里，人们一天跑几趟银行、拿到工资立刻花光，皮鞋成本会变成压倒性的负担。

8.6 未预期通胀：财富的再分配

课件第 38 页给出了另一类成本——它不是效率损失，而是分配问题。未预期的通货膨胀会重新分配财富（Unexpected inflation redistributes wealth）。

工人与雇主之间：假设工人的工资没有指数化，而通胀高于预期。那么工资的实际购买力下降，雇主以工人为代价获益。

借款人与贷款人之间：同理，未预期的通胀有利于借款人、不利于贷款人（benefits borrowers at the expense of lenders），因为借款人用比预期更不值钱的美元来还债（repay with dollars worth less than anticipated）。你借了 $100 万，约定 5% 利率，本来预期还 $105 万的购买力；结果通胀 10%，你实际只还了约 $95.5 万的购买力——凭空赚了。

这里的措辞极其关键："未预期"（unexpected）是必要条件。如果是被充分预期的通胀，贷款人会把名义利率提高到足以补偿（这就是下一节 Fisher effect 的内容），工人会要求工资指数化，双方都不会受损。所以通胀的真正代价来自"意外"，而不是通胀本身。

为什么"意外"必然存在？ 因为通胀的分布（尤其是高通胀时期）极不稳定，预测误差很大。即使所有人理性地形成预期，也总有正负的意外。而每一个意外都对应一次财富转移。从这个角度看，通胀相当于在社会内部随机地重抽财富——而人们普遍厌恶风险，这种随机的再分配本身就是一种福利损失。

课件还加了一句话，把范围从分配扩展到效率：未预期的通胀会扰乱激励（Unexpected inflation confuses incentives）。因为价格信号被噪声污染，人们无法判断"做这件事是否值得"，投资与劳动的回报变得不可预测。

8.7 长期规划为什么失灵，以及 2% 通胀目标

有些决策有很长的时间跨度（long time horizon），而反复无常的通胀会使规划变得有风险（Erratic inflation makes planning risky）。课件举的例子是退休规划（retirement planning）：它要求估算你想要的退休生活方式在几十年后的成本。

• 存太少，未来生活水准不够（save too little and you live less well in the future）；
• 存太多，现在生活水准受损（save too much and you live less well now）。

通胀的不确定性把这个问题从"可以精算"变成"只能猜测"。注意这里的成本不是"钱少了"，而是不确定性本身——它使得跨代际的资源配置无法优化。这也解释了为什么很多养老合同、保险产品会内置通胀挂钩条款，以及为什么通胀预期（inflation expectations）是央行最关注的指标之一。

课件给出的总结性判断是：考虑到通胀的这些成本，大多数经济学家同意，低而稳定的通胀有助于健康的经济（low and stable inflation promotes a healthy economy），而且大多数央行把通胀目标定在 2%（Most central banks target for a 2% inflation）。

为什么是 2% 而不是 0%？ 课件没有明说，但结合前面内容可以推出两个理由：第一，测量偏差（第 7 节）意味着真实的通胀可能已经低于统计值，如果目标是名义 0%，真实值可能是负的（通缩）；第二，需要一点通胀作为缓冲，让实际工资可以在不降低名义工资的前提下调整（名义工资有向下的刚性，工人极难接受降薪），同时为货币政策在经济衰退时留有降息空间（如果名义利率已经接近零，就无法再通过降息刺激经济，这就是"零利率下限"问题）。

8.8 恶性通胀（Hyperinflation）

恶性通胀是极高速度的通胀（an extremely high rate of inflation）。课件给的例子触目惊心：1923 年，德国雇主每天给工人发两次工资——因为通胀率高达 102,000,000%（一亿零二百万）。

为什么一天发两次工资？ 因为工人拿到钱必须立刻花掉，否则下午的钱已经买不起上午的东西了。这是皮鞋成本的极端形态：人们会把现金持有量压到最低（Minimize your cash holding），货币作为交易媒介和价值储藏的功能同时崩塌。

恶性通胀会放大通胀的所有成本（Magnifies the costs of inflation）——税收扭曲、财富再分配、规划失灵全部被放大到失去意义的程度。

课件还给了一项实证研究的结果：一项针对市场经济体 1960–1996 年的研究，在 25 个国家中发现了 45 次高通胀（100% 以上）的案例，其平均表现为：

指标	年均变化
人均实际 GDP（Real GDP per person）	−1.6%
人均实际消费（Real consumption per person）	−1.3%
人均实际投资（Real investment per person）	−3.3%

这三个数字的关系值得注意。 投资下降得最多（−3.3%），远超 GDP 和消费的下降。这与第 8.3 节（折旧扣除）和第 8.4 节（利润高估）的机制完全一致：高通胀对投资的打击最大，因为长期投资最依赖于对未来价格水平的预测能力。而投资下降又会拖累未来的 GDP 增长——高通胀不仅损害当下，还损害未来。

同时注意"45 次案例、25 个国家"这个结构：高通胀不是极罕见的偶发事件，而是反复出现的宏观病症，且集中在少数国家（说明它有制度根源——通常是财政赤字货币化，即政府直接印钱填补财政缺口）。

8.9 一个中国案例：低通胀其实是一种"隐性成本"

课件第 46 页引用了《经济学人》（The Economist）2023 年 8 月的图表，标题是 "Crushing / China"（令人压抑的／中国），副标题 "Deflation and default haunt China's economy"（通缩与违约困扰中国经济）。

图中画的是两条线：

• 消费者价格（Consumer prices）：同比变化百分比（左轴，% change on a year earlier）
• 实际利率（Real interest rate）：右轴，单位为 %，脚注说明其计算方式是 七天逆回购利率（seven-day reverse repo rate）减去消费者价格通胀（三个月移动平均）

从图中可以读出的路径：消费者价格在 2019–2020 年初一度冲到约 5%（当时主要是猪肉价格周期），随后快速回落到 0 附近，在 2020 年中期一度接近 0，之后在 2021–2022 年在 1–2.5% 之间波动，到 2023 年滑向 0 甚至略低于 0。实际利率则是先下行（2020 年中最低约 −4%），随后转为上行，到 2023 年升破 2%。

这个案例的教学价值在于展示通胀的"反面"：通胀过低（甚至通缩）同样有成本，而且它的机制和第 8.6、8.8 节完全对称。

• 名义利率（七天逆回购）已经降到很低，但价格在跌，于是实际利率反而在上升。这直接对应第 9 节的 $r = i - \pi$：当 $\pi$ 变成负数时，即使 $i$ 不变，$r$ 也会上升。
• 实际利率上升意味着实际债务负担加重。企业、地方政府的债务是用名义金额计价的，价格下跌使这些债务相对于收入变得更重——这就是标题里 "default haunt"（违约困扰）的来源。
• 名义工资难以向下调整（名义工资刚性），而价格在跌，于是企业的实际用工成本上升，利润被压缩，进一步抑制投资和雇佣——这是通缩螺旋的典型机制。
• 更关键的是政策空间被压缩：如果名义利率已经很低，而通胀是负的，实际利率依然偏高，货币政策就"陷在泥里"——这就是所谓的**零利率下限（zero lower bound）**问题。

所以课件的这个收尾案例实际上在说：2% 的通胀目标是一个双边约束。过高是病，过低也是病，而且过低时政策工具更少（因为你不能把利率降到远低于零）。

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九、名义利率与实际利率

9.1 两个定义

课件第 41 页写道：通胀对债务人和债权人的影响，可以用实际利率更精确地解释。

实际利率（real interest rate） 是金融资产购买力的年度百分比增长，也就是借入资本的真实成本：

$$\text{real interest rate} = \text{nominal interest rate} - \text{inflation}$$

$$r = i - \pi$$

其中 $r$ 是实际利率（real interest rate），$i$ 是名义利率（nominal interest rate），$\pi$ 是通货膨胀率（inflation rate）。

名义利率（nominal interest rate） 是资产美元价值的年度百分比增长。课件特别说明：名义利率是最常被报出的利率，它没有做通胀调整。

关于这个公式的两点说明。 严格来说，精确的关系是 $(1 + r) = (1 + i)/(1 + \pi)$，展开后得到 $r = \frac{i - \pi}{1 + \pi}$（这个式子的来历见第 10.5 节——它其实是"比率的增长率"那条命题的一个特例）。课件的 $r = i - \pi$ 是近似式，在通胀不极端（比如个位数）时误差很小。举例：$i = 8\%,\ \pi = 3\%$，近似得 $r = 5.00\%$，精确值是 $(1.08/1.03) - 1 = 4.85\%$，差 0.15 个百分点。当通胀达到 100% 以上时这个近似就完全失效了（比如 $i = 200\%,\ \pi = 150\%$，近似得 50%，精确值是 $3.00/2.50 - 1 = 20\%$），这是恶性通胀讨论中经常被忽略的陷阱。

另外要留意符号：$i$ 是名义利率，$\pi$ 是通胀率，两者都必须是同一时期的、同一口径的。混用"一年期国债收益率"和"当月 CPI 同比"会得出没有意义的 $r$。

9.2 一组历史数据

课件第 42 页给了 1975–2010 年的美国数据：

年份	通货膨胀率	名义利率	实际利率
1975	9.1%	8.0%	−1.1%
1980	13.5%	11.4%	−2.1%
1985	3.6%	10.6%	+7.0%
1990	5.4%	8.6%	+3.2%
1995	2.8%	6.6%	+3.8%
2000	3.4%	6.0%	+2.6%
2005	3.4%	4.3%	+0.9%
2010	1.6%	3.2%	+1.6%

课件点出的两个关键事实：名义利率的范围是 3.2% 到 11.4%，通胀率的范围是 1.6% 到 13.5%；实际利率最高出现在 1985 年（7.0%），最低出现在 1980 年（−2.1%）。

用第 10.5 节的精确公式核一遍这张表。 课件给出的 8 个"实际利率"全部是按简化的 $i - \pi$ 算的。用精确式 $\frac{1+i}{1+\pi} - 1$ 重算，差额在 0.03 到 0.25 个百分点之间（1985 年：课件 7.00%，精确 6.76%；1980 年：课件 −2.10%，精确 −1.85%）。差额很小，所以这张表的结论完全不受影响，但要知道课件的数值是近似口径——做作业时如果题目给了精确要求的暗示，应当用除法而不是减法。

这张表最重要的信息是：名义利率的波动远小于实际利率的波动，因为实际利率是两者之差，而这两个序列都波动很大且不完全同步。 这一点极其反直觉——所有人都盯着名义利率（房贷利率、存款利率），但真正决定"借钱划不划算"的是实际利率。

1980 年的 −2.1% 尤其值得琢磨。 通胀 13.5%，名义利率只有 11.4%。这意味着任何在 1980 年存钱的人，一年后购买力下降了 2.1%；反过来，借钱买房的人在 1980 年白赚了 2.1% 的实际利率。这就是第 8.6 节"未预期通胀有利于借款人"的量化呈现——1970 年代末的美国通胀持续超出预期，结果是整整一代储户被系统性剥夺，而负债者（尤其是背负固定利率房贷的家庭）获得巨额转移。

课件第 43 页的图进一步展示了 1990–2023 年美国联邦基金利率的名义与实际走势（实际利率用密歇根大学调查的 12 个月预期通胀来扣减）：

时期	名义利率（联邦基金）	实际利率
1990 初	约 8%	约 4.5%
1992–93	约 3%	约 0%（甚至为负）
2000	约 6.5%	约 3.5%
2002–04	约 1%	约 −1% 至 −2%
2007	约 5%	约 1.5%
2009–2015	约 0–0.25%	持续为负（最低约 −4%）
2019	约 2.5%	约 0%
2020–21	约 0%	约 −5%（图中最低点）
2023	约 5%	约 1%

阴影区域标记的是衰退（recessions）。 这张图讲了一个重要故事：实际利率为负的时期（2002–2005、2009–2015、2020–2022）恰好是资产价格（尤其是房地产和股票）大幅上涨的时期。这不是巧合——当实际利率为负时，持有现金和债券是亏本的，资金被迫涌向实物资产，推高其价格。这也解释了一个常见困惑："为什么美联储加息，房价/股市会跌？"因为加息抬高的是实际利率，而资产价格是对实际利率的贴现。

这里有一个技术上的注意事项：课件这张图用的是预期通胀（U Michigan survey 的 12 个月预期）而不是已实现通胀。用预期通胀算出的实际利率叫事前实际利率（ex ante real interest rate），用已实现通胀算出的叫事后实际利率（ex post real interest rate）。两者的区别正是第 8.6 节讲的"未预期通胀"：只有当通胀与预期不同时，才有财富在借贷双方之间转移。这是一个容易被忽略但很关键的精度细节——后文第 9.3 节的 Fisher effect 本质上讲的就是这个区分。

9.3 费雪效应（Fisher Effect）

课件第 44 页把上面的内容收拢成三个判断：

第一，未预期通胀有利于借款人、损害贷款人（Unexpected inflation benefits borrowers and hurts lenders）。 这是因为：给定名义利率，通胀率越高，实际利率越低。用 $r = i - \pi$ 一眼可见：$i$ 固定，$\pi$ 上升则 $r$ 下降。极端情况下 $r$ 甚至变成负数，借款人等于"借钱还能赚"。

第二，预期到的通胀不一定会伤害贷款人，只要他们能调整名义利率（Expected inflation may not hurt lenders if they can adjust the nominal interest rates）。 如果双方在签合同时就预见到 10% 的通胀，贷款人可以把名义利率从 3% 提到 13%，从而保持 3% 的实际回报。合同条款可以写死"名义利率随通胀调整"，这类产品叫通胀保值债券（inflation-protected bonds）——课件说它支付实际利率加上通胀率。美国的 TIPS（Treasury Inflation-Protected Securities）就是这样：它承诺一个固定的实际利率，票息随 CPI 调整。TIPS 的存在使"市场对通胀的预期"第一次变得可以直接观测——TIPS 收益率与同期普通国债收益率之差，就是市场的盈亏平衡通胀率（breakeven inflation rate）。这是金融市场上一个非常实用的通胀预期指标。

第三，费雪效应（Fisher Effect）：名义利率倾向于在通胀高时高、通胀低时低。

费雪效应的直觉是这样的：贷款人关心的是实际回报。如果通胀预期上升，贷款人就会要求更高的名义利率来补偿，借款人（如果也预期到通胀）也愿意支付——因为他还款用的是贬值的钱。于是名义利率会跟随通胀预期移动，两者长期大致同向变动。

这也解释了第 9.2 节那张表的一个特征：为什么名义利率波动（3.2%–11.4%）小于通胀波动（1.6%–13.5%）？ 因为名义利率只是部分地跟随通胀。短期来看，Fisher effect 常常失效——通胀意外上升时，已经签好的合同利率不会立刻变，所以实际利率会被压缩（1980 年就是如此）。所以 Fisher effect 是一个长期趋势，而不是短期规律。 这也是为什么它能同时解释"1970 年代实际利率为负"（预期没跟上）和"1980 年代实际利率高达 7%"（预期过度补偿 + 紧缩政策）。

课件第 45 页给了一张把"长期趋势"这四个字讲得最清楚的图：Fisher effect: U.S. Inflation and Interest Rates, 1956–2023。 图上有两条线——联邦基金利率（Federal Funds Rate，即名义利率）与同比 CPI（Year on Year CPI，即通胀率），横轴从 1956 年 1 月一直拉到 2023 年。从图上能读出三件事：

第一，两条线的长期同步性非常显著。 1950 年代末都在 0–4%；1960 年代后半段一起爬升；1981 年前后同时冲到整个样本的最高点（名义利率最高超过 19%，通胀最高约 14%）；随后一起下行；2008 年之后一起趴在接近 0 的位置；2021–2023 又一起反弹。这正是费雪效应"名义利率跟着通胀走"最直接的视觉证据——两条线的相关系数在六十七年里高得不像巧合。

第二，名义利率几乎全程略高于通胀率，也就是说实际利率在绝大多数时间是一个不大的正数。这符合直觉：贷款人要求正的、且不太大的真实回报。这也说明为什么 $r = i - \pi$ 在正常年份得到的都是些小数字。

第三，通胀高于名义利率（即实际利率为负）的时段是清晰可辨的，主要有四处：1974 年前后（通胀的峰值比联邦基金利率的峰值来得更晚，于是有短暂的倒挂）、2002–2003 年（名义利率被压到 1%，通胀还在 2–3%）、2008–2012 年（名义利率贴着 0.1% 的零下限不动，而通胀在 2008 年冲到约 5.5%、2011 年又回到约 4%）、以及 2021–2022 年（CPI 冲到约 9%，联邦基金利率还停在 0.1%，实际利率深度为负，图上右侧那条橙色尖峰高出蓝线一大截）。

这张图和第 9.2 节的表互为印证：表格给出离散年份的数值，这张图给出连续的时间形状，两者指向同一个结论——费雪效应是趋势性的，但名义利率对每一次通胀意外的调整都要慢半拍（2021–2022 是最新的例子）。"慢半拍"这三个字就是未预期通胀的财富再分配来源。

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十、工具与统一：比率的增长率（Growth Rates of Ratios）

讲义另发了一页手写材料《Notes on Growth Rates》，页首明确标注 "Not required for HW/exam"（不要求，不考）。但这一页的价值不在考试，而在于它把本讲前面反复出现的三个"减法"一次性证明掉了：

• §5.5 里"名义工资涨 14.4%，其中多少是实际提升、多少只是在追通胀"；
• §6.3 里"石油的相对价格变化 = 油价涨幅 − 通胀率"；
• §9.1 里"实际利率 = 名义利率 − 通胀率"（$r = i - \pi$）。

这三条看起来是三个独立结论，其实是同一个命题的三个特例。所以这一节放在最后，起一个"回收前面所有近似"的作用。

10.1 命题

记 $g(x_t)$ 为变量 $x_t$ 的增长率（growth rate）。手写材料给出的命题是：

$$g\!\left(\frac{x_t}{y_t}\right) = g(x_t) - g(y_t) \qquad \text{（连续时间下精确成立）}$$

$$g\!\left(\frac{x_t}{y_t}\right) \approx g(x_t) - g(y_t) \qquad \text{（离散时间下近似成立）}$$

一句话概括：比率的增长率，等于分子的增长率减去分母的增长率。

用大白话说：想知道"油价相对于物价涨了多少"，你不需要先知道油价和物价各自的水平，只需要知道两者各自涨了百分之几，然后相减。这就是为什么 §6.3 那张表可以直接写 $8\% - 10\% = -2\%$，而不必先去构造一个"石油相对于 CPI 的价格水平"。

注意"连续时间精确、离散时间近似"这个区别——它决定了哪些场合可以直接用减法，哪些场合必须打折扣。

10.2 连续时间的证明：对数求导

先把"增长率"写成可以运算的形式。手写材料的第一步是一个恒等式：

$$g(x_t) \;\equiv\; \frac{dx_t/dt}{x_t} \;=\; \frac{d}{dt}\ln x_t$$

这个式子是整节的钥匙，值得拆开看。 左边 $\frac{dx_t/dt}{x_t}$ 就是增长率的定义——"单位时间的变化量"除以"原值"，得到相对变化率。右边来自链式法则：$\frac{d}{dt}\ln x_t = \frac{1}{x_t}\cdot\frac{dx_t}{dt}$，恰好等于左边。所以"增长率"就是"对数的时间导数"，而这个等价关系把除法变成了减法（因为对数把除法变减法），减法正是好处理的东西。

接下来证明就顺理成章。要算 $g(x_t/y_t)$，只需把上式里的 $x_t$ 整体替换成 $x_t/y_t$（手写材料在绿色括号里写了这句话："replace $x_t$ with $\frac{x_t}{y_t}$ in the above equation"）：

$$g\!\left(\frac{x_t}{y_t}\right) = \frac{d}{dt}\ln\!\left(\frac{x_t}{y_t}\right)$$

再用对数的基本性质 $\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y$：

$$= \frac{d}{dt}\Big[\ln x_t - \ln y_t\Big] = \frac{d}{dt}\ln x_t - \frac{d}{dt}\ln y_t$$

导数可以逐项分开做，最后把每一项换回增长率的定义：

$$= \frac{dx_t/dt}{x_t} - \frac{dy_t/dt}{y_t} = g(x_t) - g(y_t)$$

证毕。整个证明只有两步实质性操作：把增长率写成对数导数、用 $\ln(x/y) = \ln x - \ln y$ 把除法拆成减法。商的求导法则（quotient rule）那套复杂形式被完全绕过了——这是对数在这类问题里最大的用处。

10.3 离散时间的证明：多出一个分母

现实数据是离散的（月度、年度），没有"瞬时导数"这回事，所以必须单独处理。

设 $x_0, y_0$ 是初始值，$x_1, y_1$ 是经过一个时期之后的值。按增长率的定义（$g = \frac{\text{新值}-\text{旧值}}{\text{旧值}}$），把 $x/y$ 这个比率本身当作一个变量来算它的增长率：

$$g\!\left(\frac{x_t}{y_t}\right) = \frac{x_1/y_1 - x_0/y_0}{x_0/y_0}$$

手写材料给了一个漂亮的整理方式——把上式重排成两个比率的商再减 1：

$$= \frac{x_1/x_0}{y_1/y_0} - 1$$

这一步用到 $\dfrac{x_1/y_1}{x_0/y_0} = \dfrac{x_1/x_0}{y_1/y_0}$。而由增长率的定义，$g(x_t) = \frac{x_1 - x_0}{x_0} = \frac{x_1}{x_0} - 1$，所以 $\frac{x_1}{x_0} = 1 + g(x_t)$，同理 $\frac{y_1}{y_0} = 1 + g(y_t)$。代入：

$$= \frac{1 + g(x_t)}{1 + g(y_t)} - 1 = \frac{g(x_t) - g(y_t)}{1 + g(y_t)}$$

最后一步是通分：$\frac{1+a}{1+b} - 1 = \frac{1+a-(1+b)}{1+b} = \frac{a-b}{1+b}$。

这个结果比连续时间的版本多了一个分母 $1 + g(y_t)$。 换句话说，离散时间下正确的公式不是单纯的减法，而是"减法之后再除以一个略大于 1 的数"。只有当 $g(y_t)$ 足够小时才有 $\frac{g(x)-g(y)}{1+g(y)} \approx g(x) - g(y)$——手写材料在页脚用绿色笔注了这句话："for small $g(y_t)$, ignore $g(y_t)$ here"（$g(y_t)$ 很小时，把这里的 $g(y_t)$ 忽略掉）。

这句"for small $g(y_t)$"不是一个可以随手丢掉的脚注，而是整节最重要的限制条件。 第 10.6 节会用课件的真实数据展示：当 $g(y_t)$ 达到 487% 时，这个近似错得有多离谱。

10.4 应用一：相对价格（回收 §6.3）

§6.3 那张表的"相对价格变化"就是这个命题的直接应用。令 $x_t$ = 石油价格、$y_t$ = CPI，那么 $x_t/y_t$ 就是石油的实际价格（相对于整体物价水平的价格），它的增长率正是"石油相对价格变化率"。

用离散时间的精确式子核一遍：

$$\text{2014}: \quad \frac{0.08 - 0.10}{1.10} = -1.82\%, \qquad \text{2015}: \quad \frac{0.08 - 0.06}{1.06} = 1.89\%$$

课件写的 $-2\%$ 与 $2\%$，是精确值 $-1.82\%$ 与 $1.89\%$ 的近似。 方向完全正确，误差不到 0.2 个百分点——因为这里的 $g(y_t)$ 就是通胀率，只有 6% 和 10%，足够"small"。

10.5 应用二与三：实际工资与费雪方程

实际工资。 实际工资的定义就是"名义工资 ÷ 价格指数"（§5.1），所以它的增长率可以直接套本命题：

$$g(\text{实际工资}) = \frac{g(\text{名义工资}) - \pi}{1 + \pi} \approx g(\text{名义工资}) - \pi, \qquad \pi \equiv g(\text{CPI})$$

这正好解释了 §5.5 那个指数化合同里的分解。用那个例子验一下：第 1 年到第 2 年，名义工资从 $12.00 涨到 $12.852，$g(\text{名义}) = 12.852/12.00 - 1 = 7.10\%$；价格指数从 1.00 涨到 1.05，$\pi = 5\%$。代入精确式：

$$\frac{0.0710 - 0.05}{1.05} = \frac{0.0210}{1.05} = 2.00\%$$

恰好等于合同保证的 2% 实际增长。 这是一个漂亮的闭环：合同上写"实际工资每年涨 2%"，用本命题反推，得到的正是 2%。如果图省事用近似式 $7.10\% - 5\% = 2.10\%$，就会比 2% 多出 0.1 个百分点——在合同这种要精确的场合，这 0.1 就是误差。

费雪方程。 这是最漂亮的一个应用。实际利率的定义是"金融资产购买力的增长率"，也就是 实际资产价值 = 名义资产价值 ÷ 价格水平 的增长率。令 $x_t$ 为资产的名义价值、$y_t$ 为价格水平，则 $g(x_t) = i$（名义利率）、$g(y_t) = \pi$（通胀率），于是

$$r = g\!\left(\frac{x_t}{y_t}\right) = \frac{i - \pi}{1 + \pi}$$

这就是 §9.1 里那个"精确式"的全部来历——它不是从天上掉下来的，而是本命题令 $x$ = 资产价值、$y$ = 物价后的一个特例。而课件写的 $r = i - \pi$，就是它在 $\pi$ 较小时的一阶近似。

用 §9.2 那张表核一下这条关系（精确值算法为 $\frac{1+i}{1+\pi} - 1$）：

年份	通胀率 $\pi$	名义利率 $i$	课件 $i-\pi$	精确 $\frac{i-\pi}{1+\pi}$	差额
2010	1.6%	3.2%	1.60%	1.57%	0.03 pp
1975	9.1%	8.0%	−1.10%	−1.01%	0.09 pp
1985	3.6%	10.6%	7.00%	6.76%	0.24 pp
1980	13.5%	11.4%	−2.10%	−1.85%	0.25 pp

（例：1985 年精确值 $= 1.106/1.036 - 1 = 6.757\%$；1980 年 $= 1.114/1.135 - 1 = -1.850\%$。）

这张表解释了课件为什么可以放心用简单减法：通胀在个位数到十几个百分点时，近似与精确只差 0.03–0.25 个百分点，做教学和粗略判断完全够用。同时也标出了"精确"与"近似"从哪个量级开始分道扬镳——注意差额最大的两行（1985、1980）既不是通胀最小也不是通胀最大的，因为差额本身等于 $\frac{(i-\pi)\,\pi}{1+\pi}$，它同时取决于利差与通胀两个因素。

10.6 一个反例：近似什么时候会彻底失效

§5.4 那个"美国生产工人实际工资"的例子（1970 年 $3.40 → 2013 年 $20.14，CPI 从 0.39 → 2.29）恰好是近似失效的教材：

• 名义工资增长率：$g(\text{名义}) = 20.14/3.40 - 1 = 492.35\%$
• 通胀率：$\pi = 2.29/0.39 - 1 = 487.18\%$
• 近似算法：$492.35\% - 487.18\% = \mathbf{+5.17\%}$
• 精确算法：$\frac{1+4.9235}{1+4.8718} - 1 = \frac{5.9235}{5.8718} - 1 = \mathbf{+0.88\%}$

两者差了 4.3 个百分点，精确值只有近似值的约六分之一。 而且精确值 $+0.88\%$ 才对得上课件里用价格指数直接除出来的结果（$8.72 → $8.79 是 $+0.80\%$，差异来自课件的四舍五入）。

为什么会错这么多？ 因为分母 $1 + g(y_t) = 5.8718$ 远远不等于 1。手写材料那句"for small $g(y_t)$"在这里被彻底违反——43 年累计通胀 487%，怎么也不能算"small"。

这条反例的教学价值很大：它说明"两个增长率相减"这个动作有一个适用域。做年度分析（通胀 2%–10%）时它很好用；做长时段分析（累计通胀几百个百分点）时必须换回除法，否则会把"实际工资基本没动"（$+0.88\%$）误判成"实际工资涨了 5%"——这就是 §5.4 那张图为什么会画出一条几乎水平的蓝线，而简单减法却会让人以为它在缓慢上升。

一个实用的判断法则：本命题的离散形式 $\frac{a-b}{1+b}$ 就是"增长率的商法"。每次看到"两个增长率相减"，先问一句分母那个增长率有多大——个位数可以放心减；超过 30% 就该回去用除法。

10.7 姊妹命题：积的增长率（这一小节是我补的）

手写材料只讲了"比率"，但同一个技巧可以立刻给出乘积的版本，而本讲前面恰好用到了它（§5.5 那个 $1.0404 \times 1.1000 = 1.1444$ 就是它）。

连续时间：因为 $\ln(x_t y_t) = \ln x_t + \ln y_t$，同样的两步直接给出

$$g(x_t y_t) = g(x_t) + g(y_t)$$

离散时间：由 $x_1y_1 = x_0(1+g_x)\,y_0(1+g_y)$，除以 $x_0y_0$ 得

$$g(x_t y_t) = \big(1+g(x_t)\big)\big(1+g(y_t)\big) - 1 = g(x_t) + g(y_t) + g(x_t)g(y_t)$$

这个式子解释了 §5.5 里那个交叉项是怎么来的。 名义工资 = 实际工资 × 价格指数，所以

$$g(\text{名义}) = g(\text{实际}) + \pi + g(\text{实际})\cdot\pi = 4.04\% + 10.00\% + 0.40\% = 14.44\%$$

也就是说，$4.0\% + 10.0\% = 14.0\%$ 与真实的 $14.4\%$ 之间那 0.4 个百分点，正是 $g(\text{实际})\times\pi = 0.0404 \times 0.10$ 这个交叉项。当两个增长率都很小时，交叉项可以忽略（这就是"近似"的全部含义）；当两者都大时，它就不能丢。

顺便说一句：这也解释了为什么"名义 GDP 增长率 ≈ 实际 GDP 增长率 + 通胀率"这个说法总是差一点点——差的正是那个交叉项。

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十一、速查表与易错点

核心定义与公式：

$$\text{CPI} = \frac{\text{cost of basket in current year}}{\text{cost of basket in base year}} \times 100\%$$

$$\text{inflation rate} = \frac{\text{CPI this year} - \text{CPI last year}}{\text{CPI last year}} \times 100\%$$

$$\text{real quantity} = \frac{\text{nominal quantity}}{\text{price index}}$$

$$\text{Nominal wage} = \text{Real wage} \times \text{Price index}$$

$$\text{Real interest rate:}\quad r = i - \pi$$

$$\text{GDP Deflator} = \frac{\text{Nominal GDP}}{\text{Real GDP}} \times 100$$

$$\text{Relative price change} \approx \text{own price change} - \text{inflation rate}$$

$$\text{比率的增长率:}\quad g\!\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{g(x)-g(y)}{1+g(y)} \approx g(x)-g(y)$$

$$\text{积的增长率:}\quad g(xy) = g(x)+g(y)+g(x)g(y) \approx g(x)+g(y)$$

$$\text{实际利率（精确）:}\quad r = \frac{i-\pi}{1+\pi}, \qquad \text{近似 } r \approx i-\pi$$

四个偏差的速查（都指向高估生活成本上升）：

偏差	机制	例子
替代偏差（Substitution Bias）	固定篮子忽略了消费者转向便宜的替代品	咖啡涨价就喝茶；官方 1.50 vs 真实 1.25
质量偏差（Quality Bias）	只测价格变化，不调整质量变化	内存多 20% 的电脑涨价 20%，其实是同质量同价
新产品偏差（New Goods Bias）	新产品没有基年价格；选择集扩大被忽略	智能手机、网约车带来的便利在 CPI 里为零
加权与覆盖问题	篮子只覆盖城市消费，且重新加权有滞后	住房占 45%，其测量争议主导整个 CPI

最容易踩的十一个坑：一，通货膨胀是增长率而非价格水平，所以同样的绝对增量对应的通胀率在递减（1.00→1.20→1.40 的通胀率是 20% 然后 16.7%）。二，CPI 是比率，1.25 与 125% 是同一个东西，读数据前先确认口径。三，平减（deflating）要除以指数，不能用减法（这就是为什么名义涨 10% 而实际可能跌 12%）。四，价格水平上涨不等于通货膨胀，单种商品涨价主要是相对价格变化（汽油翻倍几乎不是通胀）。五，同样的"油价涨 8%"，在通胀 10% 的年份意味着相对价格下降 2%，在通胀 6% 的年份意味着上升 2%——不扣通胀就无法判断贵贱。六，CPI 用固定篮子，因此系统性高估生活成本上升（三个偏差方向一致），1996 年报告估计每年高估 1–2 个百分点。七，通胀的税收成本来自"成本按历史价格、收入按当期价格"的口径不匹配，导致利润被高估、折旧扣除的真实价值不足，高通胀打击投资（高通胀国家投资年均降 3.3%，远高于 GDP 的 −1.6%）。八，通胀的分配后果（借款人受益、贷款人受损）只发生在未预期通胀时；预期到的通胀可以通过调整名义利率来抵消。九，$r = i - \pi$ 是近似式，精确式为 $r = \frac{i-\pi}{1+\pi}$，在极端通胀下差异巨大。十，低通胀和负通胀也是问题（中国 2023 年的案例）：名义利率降不下去时，价格下跌会抬高实际利率、加重债务负担，而且政策空间更小，所以央行普遍选择 2% 而非 0% 的通胀目标。十一，"两个增长率相减"是有适用域的——精确公式是 $\frac{a-b}{1+b}$，只有当分母那个增长率足够小时才能直接减。通胀是个位数时误差 0.03–0.25 个百分点（可以忽略）；但 43 年累计通胀 487% 时，减法把"实际工资基本没动"（+0.88%）说成"涨了 5%"（+5.17%），误差 4.3 个百分点。做长时段比较时务必换回除法。

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十二、附：诚实备注

关于本讲的输入。 本讲没有音频类材料，笔记内容全部来自三份书面材料：

1. 主课件 Inflation and the Price Level.pdf（Chapter 5，更新版共 47 页，编号 5-1 至 5-47）；
2. 手写讲义 Ch 5_Notes on Growth Rates.pdf（1 页，页首标注 "Not required for HW/exam"）——本笔记第 10 节的全部内容来自它；
3. 手写讲义 Ch5-Practice Question Notes.pdf（1 页）——第 7.4 节的官方参考答案来自它。

因此文中不存在任何"老师口述"的内容——所有讲解都是我基于这些材料文字的展开、推导与补充，没有任何虚构的课堂情节。课件的页面编号与我的分节没有一一对应关系，我按逻辑重新组织了顺序。

关于"更新版"的一处重要变化。 我第一次生成这份笔记时主课件是 48 页；本次复核时它已变成 47 页。逐页比对全部文字后确认：被删除的是原 5-37 页"木匠例题"那一页。因此原 5-38 及之后的每一页都前移了一页，本笔记中所有页码引用已按新版重新核对并更正（例如《经济学人》中国图从第 47 页变成第 46 页，费雪效应表从第 45 页变成第 44 页）。

被删掉的木匠例题我保留在第 8.4 节——它和仍在课件里的"折旧扣除"（第 36 页）是同一机制，而且把"通胀高估利润"推到了最干净的形式。但我在该节开头加了明确的版本提示：它已不属于当前课件范围。如果你想严格对齐课件，跳过 8.4 节不影响后文阅读。

手写材料的性质说明。 两份手写件都是扫描件/照片，纯文本抽取出来的是识别噪声（例如"咖啡 50 杯"会抽成 310 times 610 times 8230 这种）。本笔记的相关内容是我把两页手写稿渲染成图片后逐行读出来的，因此对字迹的判断依赖我的识读——特别是《Notes on Growth Rates》里的角标、绿色批注和箭头指向，我已经尽量在正文中转述清楚，但若与原稿有出入，以原稿为准。另外《Notes on Growth Rates》右上角注明"不要求、不考"，第 10 节属于理解性补充而非考点。

我独立复算并验证的部分。

• 2010–2013 年美国 CPI 的四组通胀率（1.4%、3.2%、2.2%、1.3%）：全部复算一致。
• 1929–1933 年大萧条 CPI 的四组通胀率（−2.3%、−9.0%、−9.9%、−5.1%）：全部复算一致。
• 学生月度支出算例：$680 → $850，CPI = 1.25 ✓
• 名义/实际收入算例：$40,000/1.00 = $40,000，$44,000/1.25 = $35,200 ✓
• 阿凡达 vs 泰坦尼克的实际票房：$2,923,710,708/2.15 = $1,359,865,446 ✓；$2,264,812,968/1.61 = $1,406,716,129 ✓；实际票房下泰坦尼克领先 (1,406,716,129/1,359,865,446 − 1) ≈ 3.4%。
• 实际工资算例：$3.40/0.39 = $8.72，$20.14/2.29 = $8.79 ✓
• 指数化劳动合同：$12.24×1.05 = 12.852 ≈ 12.85$ ✓；$12.48×1.10 = 13.728 ≈ 13.73$ ✓
• 咖啡/茶/司康替换算例：300/200 = 1.50，250/200 = 1.25，$1.50/1.25 − 1 = 20\%$ ✓
• 鸡肉/火腿/牛排题：基年 $230、2016 年 $300、官方指数 1.3043（+30.4%）；替代后 $255、真实指数 1.1087（+10.87%）；替代偏差 19.57 个百分点 / 官方高估 17.6% ✓
• 1975–2010 年实际利率表：每年按 $r = i - \pi$ 复算一致（−1.1%、−2.1%、+7.0%、+3.2%、+3.8%、+2.6%、+0.9%、+1.6%）✓
• 木匠例：$24/1.2 = $20，$48/1.6 = $30 ✓
• 相对价格表：2014 年 $8\% - 10\% = -2\%$，2015 年 $8\% - 6\% = 2\%$ ✓；通胀率 $(1.32-1.20)/1.20 = 10\%$、$(1.40-1.32)/1.32 = 6.06\% \approx 6\%$ ✓
• 相对价格的精确值：$(0.08-0.10)/1.10 = -1.818\%$、$(0.08-0.06)/1.06 = 1.887\%$ ✓（与课件的 $-2\%$、$2\%$ 一致到 0.2 个百分点内）
• 实际利率的精确值（§10.5 对账表）：1985 年 $1.106/1.036-1 = 6.757\%$；1980 年 $1.114/1.135-1 = -1.850\%$；1975 年 $1.080/1.091-1 = -1.008\%$；2010 年 $1.032/1.016-1 = 1.575\%$ ✓
• 指数化合同的实际工资增长率：$(12.852/12.00-1-0.05)/1.05 = 2.00\%$，恰好等于合同保证的 2% ✓
• 近似失效反例（§10.6）：精确值 $5.9235/5.8718-1 = +0.881\%$，近似值 $4.9235-4.8718 = +5.17\%$，差 4.29 个百分点 ✓
• 积的增长率交叉项（§10.7）：$g(\text{实际})\cdot\pi = 0.0404\times0.10 = 0.404\%$，故 $4.04\%+10.00\%+0.40\% = 14.44\%$ ✓
• 鸡肉/火腿/牛排题的官方答案（手写件）：$\$230 \to \$300$、CEI $1.304$、$(15+10)\times\$7+\$80 = \$255$、$255/230 = 1.1086$ ✓ 与我的推导完全一致

发现的课件问题（保持原文，不做静默改写）。

1. 第 26 页的年份笔误。 该页写"In 2015, coffee and scones are more expensive — Buying exactly the same basket of goods costs $300, compared to $200 in 2005"，但第 25 页的表格标题明确写的是 2010 Spending / 2010 price。基年应为 2010，不是 2005。另外正文说 "coffee and scones are more expensive"，而表格里茶的价格（$1.00）其实没变，所以准确的说法是"咖啡和司康饼更贵了，茶没变"。
2. 第 9.2 节那张表的 8 个"实际利率"全部是近似值 $i-\pi$。 用精确式 $\frac{1+i}{1+\pi}-1$ 重算，差额在 0.03–0.25 个百分点之间（详见 §10.5 的四行对账表）。这不构成错误——课件的公式本身就写成 $r = i - \pi$——但要知道它是近似口径，与本书 §9.1 提到的"精确式"并不一致。
3. 第 16 页选择题（1.00 → 1.20 → 1.40）没有给出答案。 选项 D（"equal 20%"）是干扰项；正确答案是 C（下降），推导见本笔记 §4.4。
4. 第 8 页饼图与第 9 页折线图的配色-名称对应关系不完全一致：第 8 页图例把 Recreation 标为深蓝、第 9 页折线图的图例用同色系标 Other Goods & Services。两页对同一分项的英文表述一致，但不要靠颜色跨页对照。
5. 第 46 页《经济学人》中国图的口径要小心。 该图的实际利率用"七天逆回购利率减去 CPI 通胀（三个月移动平均）"，而第 42、43 页的美国实际利率用的是联邦基金利率（及预期通胀）。基准利率不同、通胀口径也不同，不能横向直接比较。
6. 第 3 页的票房榜单是"截至 2026 年 9 月 11 日"的动态数据，会随新片上映持续变化；我只把它当教学素材（说明名义票房口径的系统性偏向），没有当作稳定结论。
7. 第 9、13、15、43、45、46 页的图都没有配套数字表，正文中这些图的数值是我从图上读取的近似值，已在相应位置标注"约"。
8. 第 45 页在抽取时不含任何文字层（整页是一张位图），第一版笔记因此完全无法描述它。本次我改用高分辨率整页渲染 + 左右分区裁切放大，读出了它的标题与内容，已补写进 §9.3。这不是课件的问题，而是 PDF 文字层的限制——顺带提醒：本课程所有图表页都应优先渲染成图片来读，不要依赖文字抽取。

我补充的、课件与手写件没有的内容。

• 全部推导过程（把每个通胀率、每张表逐格验算）。
• "平减要除以而不是减去"这一直觉的显式说明，以及 1.25 / 125% 的口径辨析。
• 第 10.7 节**"积的增长率" $g(xy) = g(x)+g(y)+g(x)g(y)$**——两份手写件都只讲了"比率"，积的版本是我补的，用来解释 §5.5 那个交叉项从哪来。
• 第 10.5 节那张近似 vs 精确的四行对账表（用 §9.2 的课件数据算出的两个口径差额），以及 §10.6 用课件真实数据构造的近似失效反例（+0.88% vs +5.17%）。手写件只写了"for small $g$"，没有给出这个反例。
• 第 45 页费雪效应图（1956–2023）的读数描述——该页无文字层，第一版笔记只能标注"无法描述"，本次通过高分辨率分区渲染读出并补写进 §9.3。
• 第 9、13、15、43、46 页各图的具体读数与走向描述（课件只给图，没有配文字结论）。
• "为什么央行目标是 2% 而不是 0%"的两点理由（测量偏差 + 名义刚性/零利率下限）。
• 通缩为何危险的机制说明（推迟消费的螺旋 + 实际债务负担）。
• 事前/事后实际利率（ex ante / ex post） 的区分，以及 TIPS 与盈亏平衡通胀率（breakeven inflation rate）的补充。
• "为什么名义利率波动小于通胀波动"以及"Fisher effect 是长期规律而非短期规律"的解释。
• 第 8.9 节中国案例的逐段读图与它和 $r = i - \pi$、名义工资刚性的机制关联。

我修正的自身错误（第一版的遗留问题）。

• §5.5 指数化合同的增长率分解算错了。 第一版写"名义涨 14.4%，其中 2% 是实际提升、12.4% 是追通胀"。这是错的：实际工资在两年里复合增长 $1.02^2 - 1 = +4.04\%$（不是 2%），通胀补偿是 $+10\%$（不是 12.4%），三者满足 $1.0404 \times 1.1000 = 1.1444$。已按第 10.7 节的乘法关系改写。
• 页码引用全部重新核对。 由于课件从 48 页变成 47 页，第一版中所有 $\ge 38$ 的页码引用都已更正（共 8 处）。
• "第 46 页纯图片无法描述"这条已作废——本次已读出该页内容（实为第 45 页的费雪效应图），并从"未覆盖内容"转为"已覆盖"。

一点方法论上的提醒。 本讲所有的技术内容都服务于一个结论："价格水平"是一个人工构造的统计量，而不是一个可以直接观察的物理量。CPI 的四个偏差、$r = i - \pi$ 的近似性质、Fisher effect 的长期性——这些都提醒我们，宏观数据是有误差的测量结果，而不是事实本身。做政策判断或投资决策时，把 CPI 当成一个精确刻度是危险的。

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笔记整理自主课件 Chapter 5（Inflation and the Price Level，更新版共 47 页）及两份手写讲义（Notes on Growth Rates、Ch5 Practice Question Notes）。内容全部基于上述三份书面材料；例题、判断题与手写解答的答案已在文中给出并附推导。更新版相比初版的差异（删除木匠例题页、页码前移一位）与第一版笔记中的自身错误已在诚实备注中逐条列出。