ECE2050 Chapter 2 Number Systems 课堂笔记

本章在讲什么

计算机内部只能存 0 和 1，但我们日常生活用的是十进制，还经常接触八进制、十六进制。这一章的核心问题就是：数字在不同进制之间如何表示、如何转换、计算机如何用二进制做加减乘除、负数和小数如何表示、以及如何用编码来检错。整章逻辑就是沿着这条线推进的：先讲"数"怎么表示（Base-R 系统），再讲"数"怎么算（二进制算术），然后讲"负数"怎么表示（Two's Complement），接着讲"小数"怎么表示（Fixed/Floating-Point），最后讲几种特殊的二进制编码（BCD、Gray Code、ASCII、Parity、CRC）。

数制系统（Number Systems）

数制（number system）就是一套书写数字的符号系统。日常生活中人类不止用十进制：时间用 12 或 60 进制（12 小时制、60 秒一分钟），计数的"打"是 12 进制；而计算机系统里用的是 2、8、16 进制。

十进制（Decimal, Base-10）

十进制的三个要素：

• 基数（base）$R = 10$；
• 数字符号（digit）只有 10 个：$0 \sim 9$；
• 权重（weight）：每一位的权重是 $10^x$，从右往左依次是个位（$10^0$）、十位（$10^1$）、百位（$10^2$）……

以 $5374_{10}$ 为例，它其实是一个加权求和：

$$5374_{10} = 5 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 4 \times 10^0 = 5000 + 300 + 70 + 4$$

也就是"五个千、三个百、七个十、四个一"。同一个数字符号 $5$ 放在不同位置代表的值完全不同——这叫位置加权计数系统（positional/weighted number system），第 64 页会回到这个概念。

十进制还能表示小数，靠的是小数点（decimal point）右边那些权重小于 1 的位：

$$568.23 = (5 \times 10^2) + (6 \times 10^1) + (8 \times 10^0) + (2 \times 10^{-1}) + (3 \times 10^{-2}) = 500 + 60 + 8 + 0.2 + 0.03$$

注意课件特别强调：在数字系统（digital systems）课程里，"decimal numbers" 指任何以 10 为底的数，而不只是"带小数点的数"。

Base-R 计数系统的通式

把十进制的规律推广到任意基数 $R$（要求 $R \ge 2$）：

• 基数：$R$；
• 数字符号范围：$[0, R-1]$（比如 base-5 只能用 0 到 4）；
• 每一位的权重：$R^x$。

一个 $N$ 位整数加 $M$ 位小数的 base-$R$ 数 $(N)_R = a_{n-1}\, a_{n-2} \ldots a_1\, a_0\, a_{-1} \ldots a_{-m}$ 的值是：

$$(N)_R = a_{n-1} \times R^{n-1} + a_{n-2} \times R^{n-2} + \ldots + a_1 \times R^1 + a_0 \times R^0 + a_{-1} \times R^{-1} + \ldots + a_{-m} \times R^{-m} = \sum_{i=-m}^{n-1} a_i \times R^i$$

每个符号的含义：$a_i$ 是第 $i$ 位上的数字（必须满足 $0 \le a_i \le R-1$）；$R^i$ 是该位的权重；求和符号 $\sum$ 表示把每一位"数字 × 权重"的结果全部加起来。这个公式是整章的骨架——后面所有的"X 进制转十进制"都是直接套它。

常见的四种进制：十进制（base-10）、二进制（binary, base-2）、八进制（octal, base-8）、十六进制（hexadecimal, base-16）。

二进制（Binary Number System）

二进制的三要素：基数 $R=2$；数字只有 0 和 1（每个叫一个 bit，binary digit 的缩写）；权重是 $2^x$，小数点左边依次是 $2^0, 2^1, 2^2 \ldots$，右边是 $2^{-1}, 2^{-2} \ldots$

二进制转十进制

直接套通式。例：

$$(10.101)_2 = (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0) + (1 \times 2^{-1}) + (0 \times 2^{-2}) + (1 \times 2^{-3}) = 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = (2.625)_{10}$$

小数点（binary point）右边第一位权重是 $0.5$，第二位 $0.25$，第三位 $0.125$，以此类推。

2 的幂（Powers of Two）

课件要求背熟 $2^0$ 到 $2^7$：

$$2^0=1,\; 2^1=2,\; 2^2=4,\; 2^3=8,\; 2^4=16,\; 2^5=32,\; 2^6=64,\; 2^7=128$$

这是二进制算术的基本功，后面所有转换和范围计算都会反复用到。

二进制计数（Counting in Binary）

二进制从 0 数到 7：$0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111$，对应十进制 $0 \sim 7$。规律和十进制"个位数满 10 进 1"一样，二进制是"满 2 进 1"，所以 $1 + 1 = 10$。

数制转换（Number Conversion）

二进制 → 十进制

直接按权重展开求和。例：$(10011)_2 = 1 \times 16 + 0 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1 = 19_{10}$。

十进制 → 二进制

有两种方法，考试都建议掌握。

方法一：凑最大幂（find the largest power of 2 that fits, subtract and repeat）。 以 $53_{10}$ 为例：不超过 53 的最大 2 的幂是 $32 = 2^5$，所以第 5 位是 1；$53 - 32 = 21$，不超过 21 的最大幂是 $16 = 2^4$，第 4 位是 1；$21 - 16 = 5$，最大可用幂是 $4 = 2^2$，第 2 位是 1；$5 - 4 = 1$，正好是 $2^0$，第 0 位是 1。没有用到的位（$2^3, 2^1$）填 0：

$$53_{10} = 110101_2 \quad (32 + 16 + 4 + 1 = 53)$$

方法二：反复除 2 取余（repeatedly divide by 2, remainder goes in next most significant bit）。 同样的 $53$：

• $53 \div 2 = 26$ 余 $1$
• $26 \div 2 = 13$ 余 $0$
• $13 \div 2 = 6$ 余 $1$
• $6 \div 2 = 3$ 余 $0$
• $3 \div 2 = 1$ 余 $1$
• $1 \div 2 = 0$ 余 $1$

把余数从最后一次往回读（第一个余数是最低位 LSD，最后一个是最高位 MSD），同样得到 $110101_2$。

八进制（Octal, Base-8）

基数 8，数字 $0 \sim 7$，权重 $8^x$。八进制转十进制同样套通式：

$$(2374)_8 = (2 \times 8^3) + (3 \times 8^2) + (7 \times 8^1) + (4 \times 8^0) = 1024 + 192 + 56 + 4 = (1276)_{10}$$

十进制转八进制用"反复除 8 取余"。例：$359_{10}$：$359 \div 8 = 44$ 余 $7$；$44 \div 8 = 5$ 余 $4$；$5 \div 8 = 0$ 余 $5$。第一个余数 7 是最低位（LSD），最后余数 5 是最高位（MSD），所以 $359_{10} = (547)_8$。

十六进制（Hexadecimal, Base-16）

基数 16，数字符号有 16 个：$0 \sim 9$ 加上字母 A 到 F，其中 A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15。十六进制转十进制：

$$(E5)_{16} = (14 \times 16^1) + (5 \times 16^0) = 224 + 5 = (229)_{10}$$

十进制转十六进制同样反复除 16 取余。例：$650_{10}$：$650 \div 16 = 40$ 余 $10$（即 A）；$40 \div 16 = 2$ 余 $2$；$2 \div 16 = 0$ 余 $8$。所以 $650_{10} = (28A)_{16}$。

二进制 ↔ 八进制 ↔ 十六进制

这三种进制之间的转换不需要经过十进制，因为 8 和 16 都是 2 的幂：

• 八进制/十六进制 → 二进制：把每个八进制数字展开成 3 bit，每个十六进制数字展开成 4 bit。例：$CF8E_{16} = 1100\;1111\;1000\;1110_2$；$7526_8 = 111\;101\;010\;110_2$。
• 二进制 → 八进制/十六进制：从最右边开始，每 3 bit（转八进制）或 4 bit（转十六进制）分成一组，每组换成一个数字；最左边不够一组的补前导 0（leading 0s）。例：$100110011010_2$ 按 3 位分组 $100|110|011|010$ 得 $4632_8$；$1100101001010111_2$ 按 4 位分组 $1100|1010|0101|0111$ 得 $CA57_{16}$。

之所以有人发明八进制和十六进制，是因为它们是表示大串二进制数的紧凑写法，且与二进制互转极其容易。实际应用：Linux 的文件权限用八进制，内存地址（memory address）用十六进制。

表示范围与单位

N 位数字能表示多少个数

$N$ 位十进制数有 $10^N$ 种组合，范围 $[0, 10^N - 1]$。例：3 位十进制数有 1000 种取值，范围 $[0, 999]$。

同理，$N$ 位二进制数（N-bit binary number）有 $2^N$ 种组合，范围 $[0, 2^N - 1]$。例：3 bit 有 $2^3 = 8$ 种取值，范围 $[0, 7]$，即 $000_2 \sim 111_2$。"能表示 $2^N$ 个数"和"最大值是 $2^N - 1$"这两个结论后面反复出现，别混淆。

Bits, Bytes, Nibbles

课件里这页是填空题，答案如下：

• 1 个二进制位（bit）就是 1 bit；
• Nibble（半字节）：4 bits，能表示 $2^4 = 16$ 个值，范围 $[0, 15]$；
• Byte（字节）：8 bits，能表示 $2^8 = 256$ 个值，范围 $[0, 255]$；
• 1 个十六进制数字 = 4 bits = 1 nibble；
• 2 个十六进制数字 = 1 byte（这也是为什么十六进制这么常用：一个字节正好写成两个 hex 数字）。

在一个多位数里，最左边的位是最高有效位（Most Significant Bit, MSB），最右边是最低有效位（Least Significant Bit, LSB）。同理对字节有 most significant byte / least significant byte，对十六进制数也有 most/least significant digit。

大的 2 的幂与快速估算

$2^{10} = 1024 \approx 10^3$（1 kilo）、$2^{20} \approx 10^6$（1 mega）、$2^{30} \approx 10^9$（1 giga）、$2^{40} \approx 10^{12}$（1 tera）、$2^{50} \approx 10^{15}$（1 peta）、$2^{60} \approx 10^{18}$（1 exa）。注意 kilo/mega/giga 在二进制语境下指 1024/1048576/1073741824，而不是恰好 1000 的幂。

快速估算技巧：把指数拆成 $10$ 的倍数加余数。例如 $2^{24} = 2^4 \times 2^{20} \approx 16 \times 10^6 = 16$ million；一个 32 位整数变量能表示的最大值约为 $2^{32} = 2^2 \times 2^{30} \approx 4$ billion（精确值 4294967296）。

为什么计算机用二进制

数字系统用固定数量的 bit 工作，而物理上最容易可靠区分的是两种状态（高/低电平、开/关），并且布尔逻辑（Boolean logic）与逻辑门（logic gates）天然就是围绕 0/1 建立的。课件推荐了 Crash Course Computer Science #3（Boolean Logic & Logic Gates）作为延伸材料。

二进制算术（Binary Arithmetic）

加法（Addition）

和十进制竖式一样，只是进位规则不同。加法规则（addition rules）四条：

• $0 + 0 = 0$（和为 0，进位 0）
• $0 + 1 = 1$（和为 1，进位 0）
• $1 + 0 = 1$（和为 1，进位 0）
• $1 + 1 = 10$（和为 0，进位 1）

例：$1011 + 0011$（即 $11 + 3$），从右往左逐位加，$1+1$ 产生进位，$1+1+1$ 产生和 1 进位 1，结果是 $1110$（即 14）。

例：$1011 + 0110$（即 $11 + 6$）= $10001$（即 17）。注意结果变成了 5 bit——这就引出溢出问题。

溢出（Overflow）

数字系统用固定数量的 bit工作。当结果太大、现有的 bit 数装不下时，就发生溢出（overflow）。上面 $11 + 6$ 用 4 bit 只能存下 $0001$（丢掉了最高位的进位），4 bit 无符号数最大只能表示 15，17 超出了范围。

减法（Subtraction）

减法规则四条：$0-0=0$；$1-1=0$；$1-0=1$；以及关键的 $10 - 1 = 1$，即 $0 - 1$ 需要向高位借 1（borrow of 1）。例：$101 - 011 = 010$（即 $5 - 3 = 2$），个位 $1-1=0$，第二位 $0-1$ 不够减、借位后变成 $10-1=1$，第三位 $1-0$（被借走后剩 0，实际是 $0-0$）= 0。后面会看到，计算机实际更常用"加负数"来实现减法。

乘法（Multiplication）

乘法规则极简：$0 \times 0 = 0$，$0 \times 1 = 0$，$1 \times 0 = 0$，$1 \times 1 = 1$（只有两数都是 1 结果才是 1）。手算竖式与十进制完全同构：乘数的每一位分别去乘被乘数，得到部分积（partial products），再把部分积错位相加。例：$111 \times 101$：部分积为 $111$、$000$、$111$，错位相加得 $100011$（即 $7 \times 5 = 35$）。

除法（Division）

二进制长除法（long division）与十进制同构。例：$1001 \div 11$（即 $9 \div 3 = 3$）：商首位上 1，$11$；余 $10$，落下 0 得 $100 \dots$ 最终商 $11$ 余 $00$。

有符号二进制数（Signed Binary Numbers）

到目前为止我们只处理了无符号数（unsigned）。要表示负数，有两种主流方案：原码（Sign/Magnitude）和补码（Two's Complement）。

原码（Sign/Magnitude Numbers）

规则很直观：最高位（最左边的 MSB）当符号位（sign bit），剩下 $N-1$ 位表示数值大小。符号位 0 表示正数，1 表示负数。

例：4 位原码表示 $\pm 6$：$+6 = 0110$，$-6 = 1110$（只是把最高位从 0 改成 1）。

$N$ 位原码的表示范围是：

$$[-(2^{N-1}-1),\; 2^{N-1}-1]$$

（4 bit 就是 $-7 \sim +7$。）

原码有两个致命问题：

1. 加法运算不工作。直接把 $-6 + 6$ 的原码相加：$1110 + 0110 = 10100$，这不是 0，结果完全错误。也就是说用原码没法简单地把两个带符号数相加。
2. 0 有两种表示：$0000$（+0）和 $1000$（−0），这会造成比较和判断上的麻烦。

补码（Two's Complement Numbers）

补码是现代计算机实际采用的方案，它没有原码的这两个问题：加法直接可用，且 0 只有唯一表示。

编码规则：最高位的权重规定为 $-2^{N-1}$（注意是负的权重！），其余位照常是正权重。因此：

• 4 位能表示的最大正数：$0111 = 0 + 4 + 2 + 1 = +7$（最高位为 0，负权重没生效）；
• 4 位能表示的最小负数：$1000 = -8 + 0 + 0 + 0 = -8$。

最高位仍然天然指示符号（1 = 负，0 = 正），这点和原码一样。$N$ 位补码的表示范围：

$$[-2^{N-1},\; 2^{N-1}-1]$$

（4 bit 是 $-8 \sim +7$；8 bit 是 $-128 \sim +127$。）注意负数端比正数端多一个数——因为 0 只占一个编码，省下的编码给了负数端。负数区域从 $11111111 = -1$ 一直排到 $10000000 = -128$，负数的绝对值越大，编码看起来越"小"。

取负（Reversing the Sign）

把一个补码数变成它的相反数，方法两步：

1. 按位取反（invert the bits，0 变 1、1 变 0）；
2. 加 1（add 1）。

例：$3_{10} = 0011_2$，取反得 $1100$，加 1 得 $1101 = -3_{10}$。

历史层面这个操作一直叫 "taking the two's complement"（求补码），但这个说法容易和"补码"这种表示法本身混淆，课件明确说课程里统一叫"reversing the sign"（取负/变号）。

例：$6_{10} = 0110_2$ → 取反 $1001$ → 加 1 → $1010_2 = -6_{10}$。

反过来也可以用来解读一个负数：问补码数 $1001_2$ 的十进制值是多少？它最高位是 1，是负数。取反得 $0110$，加 1 得 $0111 = 7$，所以 $1001 = -7$。

补码加法（Two's Complement Addition）：三步法

1. 把十进制数转成二进制，负数用补码形式表示（用上面的取负方法生成）；
2. 做二进制加法；
3. 判断符号：两数同正则结果应为正，两数同负则结果应为负；如果结果的符号不对，说明发生了溢出。

例（两正数）：$5 + 9$：$00000101 + 00001001 = 00001110 = 14$，两正数结果为正，正确。

例（两负数，8 bit，范围 $[-128, +127]$）：$-125 + (-58)$，即 $10000011 + 11000110 = 1\,01001001$。第 9 位的进位超出 8 bit 被丢弃后结果是 $01001001$，是正数——两负数相加结果却为正，符号错误，溢出发生了（正确答案 $-183$ 超出 8 bit 范围）。

例（一正一负）：$6 + (-15)$：$00000110 + 11110001 = (1)\,00000111 = 7$。这里最高位冒出的进位（carry）丢弃即可，有进位说明结果是正数；结果 $+7$ 正确。而 $8 + (-16) = 00001000 + 11101000 = 11101000$，没有产生进位，说明结果是负数；$11101000$ 取负验证：取反 $00010111$，加 1 得 $00011000 = 24$，所以结果是 $-24$，正确。

补码减法（Subtraction）

减法不用新规则：减去一个数等于加上它的相反数，即 $A - B = A + (-B)$，其中 $-B$ 用取负方法得到。

例：$3 - 5 = 3 + (-5)$：$0011 + 1011 = 1110$，无进位说明是负数，$1110 = -2$，正确。

例：$8 - 3 = 8 + (-3)$：$1000 + 1101 = 1\,0101$，丢弃最高位进位（discard the carry）得 $0101 = 5$，正确。在补码加法里，最高位冒出的进位直接丢掉即可，不影响结果正确性——这是补码设计最巧妙的地方。

补码乘法与除法

乘法（multiplication）两种做法：

• 直接累加（direct addition）：把乘数那么多个被乘数连加。缺点是乘数很大时极其低效，且要求两数都用真值（true, uncomplemented）形式。
• 部分积法（partial product）：同普通二进制乘法竖式，但先按无符号算出乘积，再定符号——同号得正，异号得负（same sign → positive; different signs → negative）。例（EXAMPLE 2–22）：$83 \times (-59)$：先算 $01010011 \times 01101101$（即 $83 \times 59 = 4897 = 10010011010001_2$），因为异号，对乘积取补码得 $-4897$。

除法（division）在计算机里用反复减法实现（EXAMPLE 2–23）：$100 \div 25$（$01100100 \div 00011001$）。把除数 $00011001$ 取负得补码形式 $11100111$，然后不断"加这个负数"（即不断减 25）：

• 每成功减一次（余数仍 $\ge 0$），商（quotient）加 1；
• 当余数（remainder）变为 0 或负数时停止；
• 商的值 = 减法执行的次数。本例减了 4 次，$100 - 25 \times 4 = 0$，商 $= 4 = 0100_2$。

商的符号规则同样：同号得正，异号得负。课件留了思考题：$100 \div (-25)$ 该怎么处理？——先按 $100 \div 25$ 得商 4，再因异号取负得 $-4$。

三种表示法对比（Number System Comparison）

Number System	Range（N 位）
Unsigned	$[0,\; 2^N - 1]$
Sign/Magnitude	$[-(2^{N-1}-1),\; 2^{N-1}-1]$
Two's Complement	$[-2^{N-1},\; 2^{N-1}-1]$

以 4 bit 为例画在数轴上最直观：无符号编码 $0000 \sim 1111$ 覆盖 $0 \sim 15$；补码把 $1000 \sim 1111$ 这一半解释为 $-8 \sim -1$，$0000 \sim 0111$ 解释为 $0 \sim 7$；原码类似但 $1000$ 和 $0000$ 都代表 0，且 $1111 \sim 1001$ 对应 $-7 \sim -1$。同样的 bit 串，在不同表示法下含义完全不同——这是本章最重要的 takeaway 之一。

带小数的数（Numbers with Fractions）

前面只处理了整数。要表示分数（fractions），有两种常用记法：定点数（fixed-point，二进制小数点位置固定）和浮点数（floating-point，小数点浮动）。

定点数（Fixed-Point Numbers）

原理：在整数位和小数位之间约定一个"隐含的二进制小数点"（binary point is implied）。例：用 4 位整数 + 4 位小数表示 $6.75$：

$$\text{存储：} 01101100 \quad\Rightarrow\quad 0110.1100 \quad\Rightarrow\quad 2^2 + 2^1 + 2^{-1} + 2^{-2} = 4 + 2 + 0.5 + 0.25 = 6.75$$

关键是：整数部分和小数部分各占多少位，必须事先约定好，否则同一个 bit 串会被解读成完全不同的数。

无符号定点格式 $Ua.b$：共 $a + b$ 位，$a$ 位整数、$b$ 位小数。同一个数 $6.75$ 在不同格式下的编码完全不同：

• $U4.4$：$0110.1100$ → $01101100$
• $U3.5$：$110.11000$ → $11011000$
• $U6.2$：$000110.11$ → $00011011$

常用的定点宽度是 8、16、32 位。典型应用：$U8.8$ 常用于传感器数据、音频、像素值；$U16.16$ 用于更高精度的信号处理。

有符号定点格式 $Qa.b$：用补码表示，$a$ 位整数部分（含符号位）、$b$ 位小数。取负方法与整数补码一致：按位取反，然后给最低位（LSB）加 1。例：把 $-6.75$ 写成 $Q4.4$：$6.75 = 01101100$ → 取反 $10010011$ → 加 1 得 $10010100$。典型应用：$Q1.15$（常简写 Q15）用于信号处理，能表示的范围是 $(1, -1]$。

饱和运算（Saturating Arithmetic）：定点溢出通常很糟糕，会产生难看的伪影（artifacts）：视频里明亮区域中间出现暗像素，音频里出现咔哒声。解决办法之一是饱和运算：溢出时不回卷，而是钉在最大值上。例：$U4.4$ 下 $11000000 + 01111000$（即 $12 + 7.5 = 19.5$，超出了 $U4.4$ 最大值 $15.9375$），饱和运算直接给出 $11111111 = 15.9375$，而不是溢出后的错误结果。

浮点数（Floating-Point Numbers）

定点数的问题：表示范围和精度被格式锁死。浮点数借鉴十进制的科学记数法（scientific notation）：$273 = 2.73 \times 10^2$。一般形式：

$$\pm M \times B^E$$

其中 $M$ 是尾数（mantissa），$B$ 是底数（base），$E$ 是指数（exponent）。二进制浮点数的规则是：二进制小数点浮动到最高有效 1 的右边，即规格化为 $1.xxxx \times 2^E$ 的形式。

IEEE 754 单精度浮点标准（32-bit）

32 bit 分成三个字段：

• 1 bit 符号位（sign）：0 正 1 负；
• 8 bits 指数（exponent）：存"带偏移指数"（biased exponent）；
• 23 bits 尾数（mantissa/fraction）：只存小数点后的分数位。

两个关键设计：

1. 隐含前导 1（implicit leading 1）：规格化后尾数的首位永远是 1（例如 $228_{10} = 11100100_2 = 1.11001 \times 2^7$），既然永远是 1 就没必要存，23 bit 字段只存 $11001$ 后面补零的分数位——相当于白赚 1 位精度。
2. 带偏移指数（biased exponent）：实际存的值 = bias + 真实指数，单精度 bias $= 127$（$01111111_2$）。例如指数 7 存为 $127 + 7 = 134 = 10000110_2$。这样 8 bit 无偏范围 $[-127, +128]$ 被平移成 $[0, 255]$，可以只用无符号比较来比较指数大小，同时让极大数和极小数都能表示。

例 1：$228_{10}$ 的 IEEE 754 表示。$228 = 11100100_2 = 1.11001 \times 2^7$；符号位 0；指数字段 $127 + 7 = 134 = 10000110$；尾数字段 $110\;0100\;0000\;0000\;0000\;0000$。拼起来：$0\;10000110\;11001000000000000000000$，写成十六进制即 0x43640000。

例 2：把 $-58.25_{10}$ 写成 IEEE 754，标准四步：

1. 把数值部分的绝对值转成二进制：$58.25_{10} = 111010.01_2$（$0.25 = 2^{-2}$）；
2. 写成二进制科学记数法：$1.1101001 \times 2^5$；
3. 填三个字段：符号位 1（负数）；指数字段 $127 + 5 = 132 = 10000100_2$；23 位尾数 $110\;1001\;0000\;0000\;0000\;0000$；
4. 拼接：$1\;10000100\;11010010000000000000000$，十六进制为 0xC2690000。

浮点特殊值（Special Cases）

Number	Sign	Exponent	Fraction
$0$	X	00000000	全 0
$+\infty$	0	11111111	全 0
$-\infty$	1	11111111	全 0
NaN（Not a Number）	X	11111111	非 0

即指数全 0 且尾数全 0 表示 $\pm 0$；指数全 1 表示无穷大（尾数 0）或 NaN（尾数非 0，比如 $0/0$ 这类未定义运算的结果）。

特殊二进制编码

最后一部分回到更宏观的视角：并非所有二进制串都是用来做算术的"数"，有些只是编码（code）。

位置加权 vs 非位置编码

位置/加权计数系统（positional/weighted number system）：符号的值由它的位置决定，十进制、二进制、八进制、十六进制都是。非位置/非加权系统（non-positional/non-weighted）：符号的值与位置无关，例子有格雷码（Gray code）、循环码（cyclic code）。

二进制编码十进制（Binary Coded Decimal, BCD）

BCD 的想法：把每一个十进制数字单独用一个 4 位二进制编码表示。最常用的是 8421 码（权值从高到低是 8、4、2、1）：

十进制数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
BCD	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

注意 BCD 不等于二进制转换：$170_{10}$ 的 BCD 是 $0001\;0111\;0000$（1→0001，7→0111，0→0000），而它的二进制是 $10101010$。$2469_{10}$ 的 BCD 是 $0010\;0100\;0110\;1001$。

BCD 转十进制：从最右边开始，每 4 位分成一组，每组查表还原为一个十进制数字。

BCD 加法三步：

1. 先按普通二进制加法规则把两个 BCD 数相加；
2. 若某个 4 位组的结果 $\le 9$，它是合法 BCD，直接保留；
3. 否则（结果为 $1010 \sim 1111$，或产生了进位），给这个 4 位组加 6（0110）。

例：$9 + 4$：$1001 + 0100 = 1101$，$1101 > 9$ 不合法，加 $0110$ 得 $0001\;0011$，即 BCD 的 $13$，正确。

为什么要加 6？ 4 bit 二进制能数到 16（$0000 \sim 1111$），但 BCD 只用到 10 个编码（到 $1001 = 9$ 就该进位了）。二进制加法的结果"多走了"被跳过的 6 个非法编码（$1010 \sim 1111$），加 6 正好把这段落差补回来，让进位时序重新和十进制对齐。

格雷码（Gray Code）

格雷码的特点：相邻两个码字之间只有一位不同（only a single bit change from one code word to the next in sequence）。4 位格雷码序列：$0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010, 1011, 1001, 1000$。

二进制 ↔ 格雷码转换（EXAMPLE，从 MSB 开始逐位处理）：

• 二进制 → 格雷码：最高位照抄；之后每一位格雷码 = 当前二进制位与前一位二进制位的异或（XOR）。例：$11000110_2$ → 最高位 1 照抄，后面逐位与左边一位比较：得到格雷码 $10100101$。
• 格雷码 → 二进制：最高位照抄；之后每一位二进制 = 当前格雷码位与前一位已算出的二进制位做异或（要带着已解码的结果继续往下走，而不是和上一位格雷码比较）。例：$10101111$ → 二进制 $11000101$。

为什么格雷码有优势？ 课件用四相符号传输（QPSK 式的星座图）举例：发射端发送四个符号之一，符号在信道中被噪声干扰，接收端要把失真的符号解码回来；符号检测出错的概率与符号间距离成反比。用普通二进制编码 $00, 01, 10, 11$ 时，相邻编码可能同时有两位不同（如 $01 \to 10$）；一旦噪声让接收端误判到"中间状态"，可能错成完全不同的值。而格雷码相邻码字只差一位，即使判错也只会错到"最接近的那个值"，把误差限制在最小范围。另一个直观例子：$011 \to 100$ 在二进制下要翻转全部三位，中间可能短暂出现 $010, 001, 101, 110, 111$ 等错误状态；格雷码下相邻变化永远只翻一位，不存在这种中间态风险。这也正是格雷码被用于旋转编码器（encoder）等物理场景的原因——多位同时翻转的瞬间不一致问题被彻底消除。

字母数字编码（Alphanumeric Codes）：ASCII

ASCII（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）用二进制编码英文字母、数字和符号，是字符在计算机中存储的基础。

检错码（Error Codes）

数据在传输或存储中可能出错（某位 0 变 1 或反之）。两种检错方案：

奇偶校验位（Parity Bit）

给一组数据位附加一个校验位，使整组中 1 的个数恒为偶数（even parity）或恒为奇数（odd parity）。接收端数一下 1 的个数，不符合约定即判为出错。

课件例题：奇校验（odd parity）系统收到以下码组：10110、11010、110011、110101110100、1100010101010，哪些出错？数每组 1 的个数：10110 有 3 个（合法）、11010 有 3 个（合法）、110011 有 4 个（偶数个，出错）、110101110100 有 7 个（合法）、1100010101010 有 6 个（偶数个，出错）。所以出错的两组是 110011 和 1100010101010。

局限：奇偶校验只能检测奇数个位同时出错的情况（1 个、3 个……），两位同时出错就漏检了，而且它只能"检测"不能"纠正"——不知道错在哪一位。

循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check, CRC）

CRC 是能检测数据块中多个错误的检错方法：

• 发送端：对数据块计算出一个校验和（checksum），附在数据后面一起发送；
• 接收端：用同样的方法重新计算校验和并比对，结果为零说明未检出差错，非零说明出错。

计算过程基于模 2 运算（modulo-2 operation，即 XOR 异或）的多项式除法（EXAMPLE）：

1. 数据 $D = 11010011$，生成码（generator code）$G = 1010$（4 位，意味着后面要补 $4-1=3$……按课件记法补 4 个 0：$D' = 11010011\,0000$）；
2. 用 $D'$ 对 $G$ 做模 2 除法（XOR 除法，不借位不进位），得余数（remainder）即校验和 $0100$；
3. 发送的 CRC 码 = 原数据 + 校验和 = $11010011\,0100$。

接收端收到后：如果传输中某一位出错，再去做同样的模 2 除法会得到非零余数——错误被检测出来。

自测：True/False Quiz（课件第 73 页，附答案与解析）

1. 八进制是加权系统，有八个数字。True（数字 0–7，权重 $8^x$）。
2. 二进制是加权系统，有两个数字。True。
3. MSB 指 most significant bit。True。
4. 十六进制里 $9 + 1 = 10$。False——十六进制里 $9 + 1 = A$（A 才对应十进制的 10；写成 "10" 的十六进制数代表 16）。
5. 二进制数 1111 的补码（2's complement）是 0000。False——取反得 0000，再加 1 得 0001。
6. 有符号二进制数最右边那位是符号位。False——符号位在最左边（MSB）。
7. 十六进制有 16 个字符，其中 6 个是字母。True（A–F）。
8. BCD 指 binary coded decimal。True。
9. 通过验证奇偶校验位可以检测给定编码中的错误。True（仅限奇数个位错误的情况）。
10. CRC 指 cyclic redundancy check。True。

本章核心公式与结论速查

内容	结论
Base-R 通式	$(N)_R = \sum a_i \times R^i$
N 位无符号范围	$[0, 2^N - 1]$
N 位原码范围	$[-(2^{N-1}-1),\; 2^{N-1}-1]$，0 有两种表示，加法不工作
N 位补码范围	$[-2^{N-1},\; 2^{N-1}-1]$，取负 = 取反加一
二进制加法	$1+1=10$，进位 1；补码加法最高位进位直接丢弃
补码加减溢出判断	同号相加得异号结果 ⇒ 溢出
IEEE 754 单精度	1 sign + 8 biased exponent (bias=127) + 23 fraction，隐含前导 1
特殊值	exp 全 0 & frac 全 0 = ±0；exp 全 1 & frac 0 = ±∞；exp 全 1 & frac≠0 = NaN
BCD 加法	二进制相加后，4 位组 $>9$ 则加 $0110$
格雷码	相邻码字仅 1 位不同；转换用 XOR，从 MSB 开始
奇偶校验	1 的个数奇偶性被破坏 ⇒ 检出错误
CRC	模 2（XOR）除法取余数作校验和，接收端余数非零 ⇒ 出错